Показатели вариации и анализ частотных распределений

– соответственно нижняя граница и величина модального интервала

– частоты (частости) модального,

Ширина интервала i=2
Нижняя граница x0=14
Частота fMo=30
Предмодальная

При нечетном числе вариантов:

При четном числе вариантов:

5, 4, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 6, 3, 5

2,

2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6,

Средний доход = 600-700 усл. ед.

Медиана = 163 усл. ед.

Где n – число единиц совокупности

Положение медианы в ряду распределения:

– соответственно нижняя граница и величина медианного интервала

x0 и i

SMe-1

fMe

– частота

Пример:

Интервал 16-18

В приведенном примере:

12

14

16

18

20

22

x, %

f

Mo

Самый высокий

Мода

12

14

16

18

20

22

x, %

S

Медиана

половина

Me

Вариационный размах

Среднее линейное отклонение

Невзвешенная средняя

Взвешенная средняя

Алгоритм расчета

1) Найдем середину интервалов (x’i)

До 10

Алгоритм расчета

Рассчитаем среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной

2) Определим

Алгоритм расчета

3) Найдем абсолютные отклонения середины интервалов, принятых в качестве

Алгоритм расчета

Сумму произведений делим на сумму весов

Отклонение от средней в

Алгоритм расчета

Совокупность в отношении признака однородна, средняя - типична

Отличие от

Дисперсия

Простая (невзвешенная)

Взвешенная

Простое (невзвешенное)

Взвешенное

Среднее квадратическое отклонение

Алгоритм расчета

1) Определим среднюю величину по исходным данным по формуле

Алгоритм расчета

2) Найдем отклонения

3) Возведем отклонения во 2ую степень

4) Разделив

Алгоритм расчета

5) Извлечем из дисперсии корень 2ой степени, получим среднее

Относительные показатели вариации

- коэффициент осцилляции

- линейный коэффициент вариации

или

Относительные показатели вариации

- коэффициент вариации (относит-й)

Совокупность считается однородной, если

=180,5 – середина (x’i )

A

k

=3 – шаг интервала

Отклонение от ср-й

q – доля единиц в совокупности, не обладающих данным признаком

p –

Измерение дисперсии альтернативного признака

Дисперсия альтернативного признака

Предельное значение при

*Средний % годной продукции

*Средний % браковой продукции

или 80%

или 20%

*Дисперсия удельного веса

*Среднее квадратическое отклонение удельного веса годной продукции

*Коэффициент вариации удельного веса годной

Виды дисперсий

1) Общая дисперсия

2) Межгрупповая дисперсия

Виды дисперсий

k – число групп
nj – число

3) Внутригрупповая дисперсия

Виды дисперсий

3*) Средняя из внутригруппных дисперсий

Виды дисперсий

Правило сложения дисперсий

Эмпирический коэфициент детерминации

Эмпирическое корреляционное отношение

Изменяется от 0 до 1

Пример:

Алгоритм решения

1) Определим общую среднюю:

Алгоритм решения

2) Определим среднюю по каждой группе:

Алгоритм решения

3) Рассчитаем внутригрупповые дисперсии:

Алгоритм решения

3) Рассчитаем внутригрупповые дисперсии:

Алгоритм решения

4) Рассчитаем общую дисперсию:

Алгоритм решения

5) Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Алгоритм решения

6) Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Алгоритм решения

7) Найдем общую дисперсию по приему сложения дисперсий

Алгоритм решения

8) Рассчитаем коэффициент детерминации

9) Определим эмпирическое корреляционное отношение

Внутригрупповая дисперсия доли

Pi – доля изучаемого признака в отдельных группах

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Межгрупповая дисперсия

ni – численность единиц в отдельных группах

Общая дисперсия

1) Определяем долю изучаемого признака в совокупности в целом

2) Определяем общую

3) Определяем внутригрупповые дисперсии

4) Вычисляем среднюю из внутригрупповых дисперсий

5) Определяем межгрупповую дисперсию

Расчет по интервальному вариационному ряду

xQ1 – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по

SQ1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль

SQ3-1 –

Децили

Пример:

Перцентильный ранг

Pn – обозначение n-ого перцентиля

L – нижняя граница интервала

S – число

Пример:

34% оценок в распределении ниже оценки студента Иванова

2%

Децели

Перцентили

Медиана

Квартили

Ранжированная совокупность

Коэффициент дифференциации

в большинстве случаев

Децильный коэффициент дифференциации

Не совсем точен: сопоставляется min и max величины

Коэффициент фондовой дифференциации

– сумма значений признака 10% самых крупных единиц в совокупности

– число

Пример:

Капитал, млн.руб.:

6,9
9,3
1,3
6,0
13,4

8,1
2,1
4,3
4,5
11,5

3,7
5,1
2,9
1,4
1,6

10,9
7,2
3,2
8,9
1,2

10% самых крупных и 10% самых мелких банков

Уровень дифференциации достаточно высок

Моменты распределения

Момент k-ого порядка

Эмпирический мoмент k-ого порядка

1) Начальные моменты

2) Условные моменты

(Производная величина)

3) Центральные моменты

(Средняя арифметическая)

По-
рядок

Виды

Относительный показатель ассиметрии

ИЛИ

As>0
Правосторонняя
ассиметрия

As<0
Левосторонняя
ассиметрия

Коэффициент ассиметрии

Ассиметрия выше 0,5 считается значительной, меньше 0,25 - незначительной

Средняя квадратическая ошибка коэффициента ассиметрии

Ассиметрия существенна и распределение признака в ген. совокупности несимметрично

Незначительная по величине и отрицательная по характеру ассиметрия

Показатель эксцесса

В нормальном распределении Ek=0

Ek>0
Островершинное
распределение

Ek<0
Плосковершинное
распределение

Средняя квадратическая ошибка эксцесса

Где n – число наблюдений

Нормальное распределение

– ордината кривой нормального распределения

– стандартизированное отклонение

– материальные постоянные
(= 2,7182 и

нормированное отклонение (t)
по приложению значения плотности вероятности для нормированного нормального

57

59

61

63

65

67

крепость одиночной нити, г

количество образцов

x

69

71

73

эмпирические

теоретические

Критерий согласия

1) Пирсона:

– эмпирические и теоретические частоты соответственно

fэ и

Вероятность определения по приложению:

– эмпирические и теоретические распределения близки

– совпадение удовлетворительное

–

Критерий согласия

2) Романовского:

C<3 – различие несущественное

– число степеней свободы

Критерий согласия

3) Колмогорова:

Большое число наблюдений (не<100)

Условие:

– max значение разности

(Критерий согласия Пирсона)

(Критерий согласия Романовского)