Поля и линейные пространства

Обозначения

Заглавные латинские буквы (A, …)- множества
Прописные латинские буквы (a,b…) – элементы

Поле

Определение. Множество К называется полем, если в нем введены две бинарные

Простейшие свойства поля

Нулевой элемент единственный
Противоположный элемент единственный.
Единичный элемент единственный.
Обратный элемент единственный.

Определение вычитания и деления в поле

Определение.
Замечание. Такое определение корректно, благодаря единственности

Примеры полей

Множество R – вещественных чисел является полем
Множество Q - рациональных

Линейное пространство.

Определение. Множество V называется линейным пространством над полем K, если

Простейшие следствия из аксиом ЛП

Нулевой элемент единственный.
Противоположный вектор единственный.
Определение:

Линейная комбинация векторов

V- ЛП
Определение. Выражение вида
называется линейной комбинацией векторов

Линейная оболочка векторов

Определение. Пусть - система векторов. Множество всех линейных комбинаций

Выражение вектора через линейную комбинацию

Определение. Если некоторый вектор
представлен в виде

Линейная зависимость

Определение. Система векторов называется
линейно зависимой, если существует

Линейная независимость

Определение. Система векторов
называется линейно независимой, если
тогда и

Алгебраические свойства систем линейных векторов.

Если система векторов содержит нулевой вектор, то

Геометрические свойства систем векторов.

Система состоящая из одного вектора линейно зависима тогда

Базис линейного пространства

V – ЛП
Определение. Система векторов
называется базисом ЛП V,

Размерность линейного пространства

Определение. Количество векторов в базисе называется размерностью линейного пространства

Координаты вектора в базисе

Из определения базиса ЛП V следует, что любой

Координаты вектора в базисе

Замечание. Координаты вектора x зависят от выбора базиса.

Подпространства линейного пространства

Подпространства и подмножества

Определение. Подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством,

Примеры подпространств.

Равносильное определение.

Утверждение. Множество W является линейным подпространством V тогда и только

Подпространства матриц

Пусть
W1 – симметрические матрицы
W2 – кососимметрические матрицы

Подпространства C[a,b]

Пусть V=C[a,b] – пространство непрерывных функций на отрезке [a,b]

Пересечение и объединение подпространств

Пусть V – ЛП, W1, W2 – подпространства

Сумма подпространств

Определение.
Утверждение. Сумма двух подпространств является подпространством.
Замечание. Разложение произвольного вектора из

Пример суммы подпространств

Пример. W1=XOY
W2=YOZ
W1+W2=R3
Поскольку для любого вектора возможно разложение:

Прямая сумма подпространств

Определение. Пространство V называется прямой суммой подпространств W1 и

Теорема о размерности

Теорема. Пусть V=W1+W2. Тогда
Доказательство.
Пусть e1, e2….ek - базис W1∩W2

Доказательство

Проверим, что e1, e2….ek, a1, a2…. aℓ b1, b2…. bm ЛНЗ

Доказательство

Доказательство

Доказательство

2. Проверим, что любой вектор из ЛП V линейно выражается через

Теоремы о прямой сумме

Теорема 1. Пусть V=W1+W2. Тогда
Тогда и только тогда,

Изменение координат вектора при замене базиса

Матрица перехода

V – линейное пространство
e1, e2,e3…..en – первый базис (1)
e’1, e’2,e’3,…e’n

Изменение координат вектора

Изоморфизм линейных пространств

Определение изоморфизма

V1, V2 – два ЛП
Определение. Пространство V1 изоморфно V2, если

Свойства изоморфизма

Рефлективность
Симметричность
Транзитивность

Утверждение. Если V1 изоморфно V2, то f(0v1)=0v2 (при изоморфизме ноль переходит

Теорема. V изоморфно W тогда и только тогда, когда dimV=dimW.
Доказательство.

Утверждение. Любое линейное пространство размерности n изоморфно n-мерному координатному пространству Rn.
Доказательство.
Всякий