Потоки событий. Марковские случайные процессы

Август 9, 2022

Главная
Математика
Потоки событий. Марковские случайные процессы

Содержание

2. Потоки событий Это последовательность событий происходящих одно за другим в определенные интервалы времени. T - средняя
3. Потоки событий Стационарный Количество событий, попадающих на любой произвольный интервал времени τ не зависит от положения
4. Потоки событий Ординарный В любой момент времени происходит одно и только одно событие, т. е. вероятность
5. Экономическое применение Современные финансово – банковские операции предполагают погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от
6. Задача Для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда банка, занимающегося выдачей долгосрочных ссуд, важно
7. Решение По условию задачи поток выплат можно считать простейшим с интенсивностью λ=2 (за неделю). Следовательно, число
8. Решение Пусть X(τ) - дискретная случайная величина , представляющая собой число выплат, поступивших за промежуток времени
9. Решение Пусть непрерывная случайная величина T - промежуток времени между двумя любыми соседними выплатами (событиями простейшего
10. Задачи для самостоятельного решения 1. Обычно студент приходит на остановку ровно в 8 часов утра и,
11. Задачи для самостоятельного решения 2. Поток заявок, поступающих в некоторую систему массового обслуживания, достаточно точно моделируется
12. Марковские случайные процессы
13. Основные понятия Под системой S будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на
14. Основные понятия В случае дискретного множества состояний система меняет свои состояния скачком (мгновенно). В случае же
15. А. А. Марков (1856 - 1922) Андрей Андреевич Марков - старший - выдающийся русский математик, разработавший
16. Виды Марковских процессов Дискретные состояния и дискретное время (цепь Маркова) Непрерывные состояния и дискретное время (Марковские
17. Марковские цепи Цепью Маркова называют такую последовательность случайных событий, в которой вероятность каждого события зависит только
18. Задание Марковской цепи множеством состояний S = {s1, …, sn}, событием является переход из одного состояния
19. Пример S = {S1, …, S5} p(0) = {1, 0, 0, 0, 0}
20. Пример
21. Виды Марковских цепей Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности от времени не зависят, то есть
22. Цель моделирования определить вероятность системы находится в j-ом состоянии после k-го шага. Обозначим эту вероятность однородная
23. Задача №1 Некоторая совокупность рабочих семей поделена на три группы: ε1 – семьи, не имеющие автомашины
24. Задача №1 Найти: а)вероятность того, что семья, не имевшая машины и не собиравшаяся ее приобрести, будет
25. Решение задачи №1 а) Дано: т.е. вектор начальных вероятностей p(0)=(1,0,0) (сейчас система в состоянии 1) Найти:
26. Решение задачи №1 Получим вектор вероятностей через 1 год В нашем случае это 1-ая строка матрицы
27. Решение задачи №1 Вычисления: Ответ: вероятность того, что семья, не имевшая машины и не собиравшаяся ее
28. Задача №2 Предположим, что некая фирма осуществляет доставку оборудования по Москве: в северный округ (обозначим А),
29. Задача №2 Если курьер стартует из центрального округа, какова вероятность того, что осуществив две доставки, он
30. Предельные вероятности Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (t стремится к бесконечности) наступает стационарный
31. Предельные вероятности Пусть xi – предельные вероятности (i=1..n), где n – число состояний. Тогда xi являются
32. Пример Матрица переходных вероятностей (число состояний n=2) и графическое изображение Марковского процесса: Предельные вероятности x1 и
33. Задача №3 Две машины А и В сдаются в аренду по одной и той же цене.
34. Задача №4 Посетитель банка с намерением получить кредит проходит ряд проверок (состояний): е1 – оформление документов;
35. Задача №4 Граф этой системы:
37. Скачать презентацию

Слайд 2

Потоки событий
Это последовательность событий происходящих одно за другим в определенные интервалы

времени.
T - средняя величина времени между соседними событиями
Если T=const, то события в потоке распределены равномерно.
λ - интенсивность потока, т. е. среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Слайд 3

Потоки событий
Стационарный
Количество событий, попадающих на любой произвольный интервал времени τ не

зависит от положения τ на числовой оси, а зависит только от его ширины
Без последействия
Для любых двух непересекающихся временных интервалов количество событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий произошло на другом интервале
Регулярный
Противоположный потоку без последействия (с последействием)

Слайд 4

Потоки событий
Ординарный
В любой момент времени происходит одно и только одно событие,

т. е. вероятность появления на бесконечно малом временном интервале двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события
Пуассоновский
Нестационарный, ординарный поток без последействия
Простейший
Стационарный , ординарный поток без последействия, для которого число событий, появляющихся за промежуток времени τ, распределено по закону Пуассона, а интервалы времени между двумя последовательными событиями характеризуются показательным распределением. Это стационарный пуассоновский поток.

Слайд 5

Экономическое применение
Современные финансово – банковские операции предполагают погашение задолженности в рассрочку,

периодическое поступление доходов от инвестиций. Такого рода последовательность, или ряд платежей, можно назвать потоком платежей.
Поток платежей все члены которого – положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой. Рентой является последовательность получения процентов по облигациям, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий.
Характеристики потока платежей: интервал между двумя соседними платежами, вероятности выплаты платежа, широко применяются в различных финансовых расчетах. Без них невозможно разработать план последовательного погашения задолженности, измерить финансовую эффективность проекта, осуществить сравнение или безубыточное изменение условий контрактов.

Слайд 6

Задача
Для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда банка, занимающегося

выдачей долгосрочных ссуд, важно обладать информацией о процессе поступления в банк выплат по займам.
Наблюдение за банком в предшествующем периоде показало, что число поступающих в банк выплат за любой промежуток времени τ не зависит от момента времени с которого начался отсчет промежутка времени , а зависит только от его продолжительности.
Ожидаемое число выплат в банк за неделю равно 2. Исследуем, какова вероятность поступления в банк за месяц 7 выплат и найдем вероятность того, что интервал времени между двумя соседними выплатами меньше 2 дней.

Слайд 7

Решение
По условию задачи поток выплат можно считать простейшим с интенсивностью λ=2

(за неделю).
Следовательно, число выплат, поступивших за промежуток времени τ=4 недели (1 месяц), распределено по закону Пуассона.
Интервалы времени между двумя последовательными выплатами в простейшем потоке имеют показательный закон распределения.

Слайд 8

Решение
Пусть X(τ) - дискретная случайная величина , представляющая собой число выплат,

поступивших за промежуток времени τ . Она распределена по закону Пуассона. M(X)=D(X)=λ⋅τ
Тогда - вероятность того, что за промежуток времени τ в потоке наступят точно m событий равна
Следовательно, при интенсивности потока выплат λ=2 вероятность поступления в банк за месяц (τ=4) 7 выплат (m=7) равна

Слайд 9

Решение
Пусть непрерывная случайная величина T - промежуток времени между двумя любыми

соседними выплатами (событиями простейшего потока). Она имеет показательный закон распределения. M(T)=1/λ, D(T)=1/λ2
Тогда вероятность P(TСледовательно, вероятность того, что интервал времени между двумя соседними выплатами меньше 2 дней (t=2/7 в неделях) равна
P(T<2/7)=F(2/7)=1-e-2⋅2/7=1-e-4/7≈0.435≈44%

Слайд 10

Задачи для самостоятельного решения
1. Обычно студент приходит на остановку ровно в

8 часов утра и, сев в первый пришедший автобус, идущий в направлении университета, вовремя прибывает на занятия, которые начинаются ровно в 9 утра. Интервалы движения автобуса составляют в среднем 10 минут, а время в пути автобуса равно 30 минутам. Пусть поток автобусов является простейшим. Найдите вероятность того, что студент все же опоздает на занятия.

Слайд 11

Задачи для самостоятельного решения
2. Поток заявок, поступающих в некоторую систему массового

обслуживания, достаточно точно моделируется простейшим. При изучении опытных данных рассматривалось 200 выбранных наудачу промежутков времени длиной в 2 мин. Оказалось, что число тех из них, в которых не было зарегистрировано ни одной заявки, равно 27. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа заявок за 1 час.

Слайд 12

Марковские случайные процессы

Слайд 13

Основные понятия
Под системой S будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов,

которое нельзя расчленить на независимые подмножества.
Если система S с течением времени t изменяет свои состояния S(t) случайным образом, то говорят, что в системе S протекает случайный процесс.
В любой момент времени система пребывает только в одном из состояний, то есть для любого момента времени t найдется единственное состояние Si такое, что S(t) = Si.
Множество состояний может быть дискретно (техническое состояние объекта : исправен - неисправен, загружен - находится в простое; численность персонала; количество объектов, ожидающих обслуживания в очереди) или непрерывно (доход, объем производства).

Слайд 14

Основные понятия
В случае дискретного множества состояний система меняет свои состояния скачком

(мгновенно). В случае же непрерывного множества состояний переход системы происходит непрерывно (плавно).
В зависимости от времени пребывания системы в каждом состоянии различают процессы с дискретным временем (искусственная числовая сетка времени) и с непрерывным временем (физическое время, переход системы из одного состояния в другое может осуществляться в любой момент времени).
Случайный процесс, протекающий в системе S, называется Марковским, если он обладает свойством отсутствия последствия, состоящим в том, что для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния S(t) системы S в будущем (при t>t0) зависит только от ее состояния S(t0) в настоящем (при t=t0) и не зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в прошлом (при t>t0).

Слайд 15

А. А. Марков (1856 - 1922)
Андрей Андреевич Марков - старший - выдающийся

русский математик, разработавший основы теории случайных процессов без последействия, которые в математике называют Марковскими процессами в его честь .
А. А. Марков - старший известен также как давший вероятностное обоснование метода наименьших квадратов (МНК), приведший одно из доказательств предельной теоремы теории вероятностей и многое другое.

Слайд 16

Виды Марковских процессов
Дискретные состояния и дискретное время (цепь Маркова)
Непрерывные состояния и

дискретное время (Марковские последовательности)
Дискретные состояния и непрерывное время (непрерывная Марковская цепь)
Непрерывные состояния и непрерывное время.
На практике большинство задач по Марковским процессам описываются с помощью Марковских цепей с дискретным или непрерывным временем.

Слайд 17

Марковские цепи
Цепью Маркова называют такую последовательность случайных событий, в которой вероятность

каждого события зависит только от состояния, в котором процесс находится в текущий момент и не зависит от более ранних состояний.

Слайд 18

Задание Марковской цепи
множеством состояний S = {s1, …, sn}, событием является переход из одного

состояния в другое в результате случайного испытания
вектором начальных вероятностей (начальным распределением) p(0) = {p(0)(1),…, p(0)(n)}, определяющим вероятности p(0)(i) того, что в начальный момент времени t = 0 процесс находился в состоянии si
матрицей переходных вероятностей P = {pij}, характеризующей вероятность перехода процесса с текущим состоянием si в следующее состояние sj, при этом сумма вероятностей переходов из одного состояния равна 1

Слайд 19

Пример
S = {S1, …, S5}
p(0) = {1, 0, 0, 0, 0}

Слайд 20

Пример

Слайд 21

Виды Марковских цепей
Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности от времени не

зависят, то есть от шага k к шагу (k+1) не меняются.
Разложимые Марковские цепи содержат невозвратные состояния, называемые поглощающими. Из поглощающего состояния нельзя перейти ни в какое другое. На графе поглощающему состоянию соответствует вершина, из которой не выходит ни одна дуга.
Эргодические Марковские цепи описываются сильно связанным графом. В такой системе возможен переход из любого состояния в любое состояние за конечное число шагов.

Слайд 22

Цель моделирования
определить вероятность системы находится в j-ом состоянии после k-го шага.

Обозначим эту вероятность
однородная Марковская цепь
неоднородная Марковская цепь

Слайд 23

Задача №1
Некоторая совокупность рабочих семей поделена на три группы: ε1 –

семьи, не имеющие автомашины и не намеревающиеся ее приобрести; ε2 – семьи, не имеющие автомашины, но собирающиеся ее приобрести, и, наконец, ε3 – семьи, имеющие автомашину. Статистические обследования дали возможность оценить вероятность перехода семей из одной группы на протяжении года в другую. При этом матрица перехода оказалась такой:

Слайд 24

Задача №1
Найти:
а)вероятность того, что семья, не имевшая машины и не собиравшаяся

ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2 года;
б) вероятность того, что семья, не имевшая автомашины и намеревающаяся ее приобрести, будет иметь автомашину через 2 года. (выполнить решение пункта (б) данной задачи самостоятельно)

Слайд 25

Решение задачи №1
а) Дано:
т.е. вектор начальных вероятностей p(0)=(1,0,0)
(сейчас система в

состоянии 1)
Найти: (через 2 года в состоянии 1)
Найдем вероятности системы оказаться в каждом из состояний через 1 год
(умножение вектора начальных вероятностей на 1 столбец матрицы переходных вероятностей)
(умножение вектора начальных вероятностей на 2 столбец матрицы переходных вероятностей)
(умножение вектора начальных вероятностей на 3 столбец матрицы переходных вероятностей)

Слайд 26

Решение задачи №1
Получим вектор вероятностей через 1 год
В нашем случае это

1-ая строка матрицы переходных вероятностей
Найдем вероятности системы оказаться в 1 состоянии через 2 года
(умножение вектора вероятностей через 1 год, т.е. 1-ой строки матрицы переходных вероятностей на 1-ый столбец матрицы переходных вероятностей)

Слайд 27

Решение задачи №1
Вычисления:
Ответ: вероятность того, что семья, не имевшая машины и

не собиравшаяся ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2 года равна 0,64

Слайд 28

Задача №2
Предположим, что некая фирма осуществляет доставку оборудования по Москве: в

северный округ (обозначим А), южный (В) и центральный (С). Фирма имеет группу курьеров, которая обслуживает эти районы. Понятно, что для осуществления следующей доставки курьер едет в тот район, который на данный момент ему ближе. Статистически было определено следующее:
после осуществления доставки в А следующая доставка в 30 случаях осуществляется в А, в 30 случаях – в В и в 40 случаях – в С;
после осуществления доставки в В следующая доставка в 40 случаях осуществляется в А, в 40 случаях – в В и в 20 случаях – в С;
после осуществления доставки в С следующая доставка в 50 случаях осуществляется в А, в 30 случаях – в В и в 20 случаях – в С.
Таким образом, район следующей доставки определяется только предыдущей доставкой.

Слайд 29

Задача №2
Если курьер стартует из центрального округа, какова вероятность того, что

осуществив две доставки, он будет в южном округе?
Выполните решение задачи самостоятельно:
Составьте матрицу переходных вероятностей
Нарисуйте граф данного процесса
Вычислите искомую вероятность

Слайд 30

Предельные вероятности
Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (t стремится

к бесконечности) наступает стационарный режим, при котором вероятности состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени.
Такие вероятности называются предельными (или финальными, стационарными) вероятностями состояний, они показывает среднее относительное время пребывания системы в определенном состоянии.
Например, если предельная вероятность i-го состояния pi=0.5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в i-ом состоянии.

Слайд 31

Предельные вероятности
Пусть xi – предельные вероятности (i=1..n), где n – число

состояний.
Тогда xi являются единственным решением системы линейных уравнений.
В данную систему входят уравнения:

Слайд 32

Пример
Матрица переходных вероятностей (число состояний n=2) и графическое изображение Марковского процесса:
Предельные

вероятности x1 и x2 можно найти, решив систему

Слайд 33

Задача №3
Две машины А и В сдаются в аренду по одной

и той же цене. Эти машины имеют следующие матрицы переходных вероятностей:
где ε1 – состояние, когда машина работает хорошо;
ε2 – состояние, когда машина требует регулировки.
Определить вероятности для обеих машин. Какую машину стоит арендовать?

Слайд 34

Задача №4
Посетитель банка с намерением получить кредит проходит ряд проверок (состояний):

е1 – оформление документов; е2 – кредитная история; е3 – возвратность; е4 – платежеспособность. По результатам проверки возможны два исхода: отказ в выдаче кредита (е6) и получение кредита (е5).

Слайд 35

Потоки событий. Марковские случайные процессы

Содержание

Потоки событийЭто последовательность событий происходящих одно за другим в определенные интервалы

Потоки событийСтационарныйКоличество событий, попадающих на любой произвольный интервал времени τ не

Потоки событийОрдинарныйВ любой момент времени происходит одно и только одно событие,

Экономическое применениеСовременные финансово – банковские операции предполагают погашение задолженности в рассрочку,

ЗадачаДля анализа изменения с течением времени размера текущего фонда банка, занимающегося

РешениеПо условию задачи поток выплат можно считать простейшим с интенсивностью λ=2

РешениеПусть X(τ) - дискретная случайная величина , представляющая собой число выплат,

РешениеПусть непрерывная случайная величина T - промежуток времени между двумя любыми

Задачи для самостоятельного решения1. Обычно студент приходит на остановку ровно в

Задачи для самостоятельного решения2. Поток заявок, поступающих в некоторую систему массового

Марковские случайные процессы

Основные понятияПод системой S будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов,

Основные понятияВ случае дискретного множества состояний система меняет свои состояния скачком

А. А. Марков (1856 - 1922)Андрей Андреевич Марков - старший - выдающийся

Виды Марковских процессовДискретные состояния и дискретное время (цепь Маркова)Непрерывные состояния и

Марковские цепиЦепью Маркова называют такую последовательность случайных событий, в которой вероятность

Задание Марковской цепимножеством состояний S = {s1, …, sn}, событием является переход из одного

ПримерS = {S1, …, S5}p(0) = {1, 0, 0, 0, 0}

Пример

Виды Марковских цепейМарковская цепь называется однородной, если переходные вероятности от времени не

Цель моделированияопределить вероятность системы находится в j-ом состоянии после k-го шага.

Задача №1Некоторая совокупность рабочих семей поделена на три группы: ε1 –

Задача №1Найти:а)вероятность того, что семья, не имевшая машины и не собиравшаяся

Решение задачи №1а) Дано: т.е. вектор начальных вероятностей p(0)=(1,0,0)(сейчас система в

Решение задачи №1Получим вектор вероятностей через 1 годВ нашем случае это

Решение задачи №1Вычисления:Ответ: вероятность того, что семья, не имевшая машины и

Задача №2Предположим, что некая фирма осуществляет доставку оборудования по Москве: в

Задача №2Если курьер стартует из центрального округа, какова вероятность того, что

Предельные вероятностиДля эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (t стремится

Предельные вероятностиПусть xi – предельные вероятности (i=1..n), где n – число

ПримерМатрица переходных вероятностей (число состояний n=2) и графическое изображение Марковского процесса:Предельные

Задача №3Две машины А и В сдаются в аренду по одной

Задача №4Посетитель банка с намерением получить кредит проходит ряд проверок (состояний):

Задача №4Граф этой системы:

Похожие презентации