Слайд-лекции по дисциплине Высшая математика

Август 2, 2022

Главная
Математика
Слайд-лекции по дисциплине Высшая математика

Содержание

2. Линейная алгебра Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и понятие определителя 2-го порядка. Определители 3-го
3. Понятие определителя 2-го порядка Определитель второго порядка, соответствующий таблице элементов , определяется равенством где a1 и
4. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными
5. Варианты решений Δ≠0– система имеет единственное решение - формулы Крамера Δ=0, Δx≠0, Δу ≠0, Δz ≠0-
6. Определители 3-го порядка, вычисление и свойства Определитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов , определяется равенством a1
7. Правило треугольников – схема нахождения определителя 3-го порядка Пример 2∙5∙6 + 2∙(-5)∙3 +3∙4∙3 -3∙5∙3 -2∙(-5)∙3 -3∙4∙6=
8. Правило Саррюса- схема нахождения определителя 3-го порядка a1 b2 c3+ b1 c2 a3 + c1 a2
9. Свойства определителей Значение определителя не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы – соответствующими строками.
10. Пример Вычислить определитель 3-го порядка Так как элементы 2-ой и 3-ей строки одинаковы, то определитель равен
11. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Если a1/a2=b1/b2=c1/c2, то система сводится к одному уравнению (например,
12. Правило Крамера – метод решения системы линейных уравнений
13. Варианты решений Δ≠0– система имеет единственное решение - формулы Крамера Δ=0, Δx≠0, Δу ≠0, Δz ≠0-
14. Пример: Решить систему линейных уравнений
15. Система трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными. Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член
16. Понятие определителя n-го порядка.
17. Минором Мij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка который получается путем вычеркивания в
18. Теорема Лапласа Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки(столбцов) на их алгебраические дополнения, т.е.
19. Пример: Вычислить определитель, разлагая его по элементам второго столбца
20. Пример: Вычислить определитель 4-го порядка Прибавим к первой строке удвоенную третью, ко второй строке -третью, умноженную
21. Обобщение формулы Крамера на случай системы n - линейных уравнений. Из коэффициентов при неизвестных составим определитель,
22. Варианты решений Если для системы уравнений определитель Δ≠0, то система имеет единственное решение где определитель Δi
23. Пример: Решить систему линейных уравнений Вычислим определитель системы
24. Поскольку ∆ ≠ 0, система уравнений может быть решена по формулам Крамера. Найдем определители ∆x1 –
25. Таким же образом высчитываем ∆х4 и получаем: ∆х1 = ∆х2 = –∆х3 = ∆х4, и, следовательно,
26. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами или, в сокращенной записи, А=(аij); i=1, 2, ..., m; j
27. Виды матриц Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е.
28. Виды матриц Матрица получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами (и наоборот), называется транспонированной (по отношению
29. Линейные операции над матрицами. Умножением матрицы на число k называется матрица, каждый элемент которой умножен на
30. Обратная матрица
31. Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).
32. Пример: Найти матрицу, обратную к матрице
33. Пример: Найти матрицу, обратную матрице А= Найдем определитель исходной матрицы: ∆А= Так как ∆А = 0,
34. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы
35. Пример: Решить систему уравнений
36. Ранг матрицы.
37. Методы вычисления ранга матрицы - метод окаймляющих миноров
38. Пример: Найти ранг матрицы
39. Совместность систем уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.
40. Пример: Установить совместимость системы
42. Скачать презентацию

Слайд 2

Линейная алгебра
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и понятие определителя

2-го порядка.
Определители 3-го порядка, вычисление и свойства.
Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.
Правило Крамера.
Система трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными.
Понятие определителя n-го порядка.
Обобщение формулы Крамера на случай системы n - линейных уравнений.
Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами.
Обратная матрица.
Решение системы линейных уравнений матричным способом.
Ранг матрицы.
Теорема Кронеккера-Капелли.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Слайд 3

Понятие определителя 2-го порядка
Определитель второго порядка, соответствующий таблице
элементов , определяется

равенством
где a1 и b2 – элементы главной диагонали,
a2 и b1 – элементы побочной диагонали
Пример

Слайд 4

Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными

Слайд 5

Варианты решений
Δ≠0– система имеет единственное решение
- формулы Крамера
Δ=0, Δx≠0, Δу

≠0, Δz ≠0- система не имеет решения
Δ=0, Δx=0, Δу =0, Δz =0-система имеет бесконечное множество решений

Слайд 6

Определители 3-го порядка, вычисление и свойства
Определитель третьего порядка, соответствующий таблице
элементов

, определяется равенством
a1 b2 c3+ a2 b3 c1+ a3 b1 c2- a3 b2 c1- a1 b3 c2- a2 b1 c3
где a1 ,b2 и c3 – элементы главной диагонали,
a3 ,,b2 и c1 – элементы побочной диагонали

Слайд 7

Правило треугольников – схема нахождения определителя 3-го порядка
Пример
2∙5∙6 +
2∙(-5)∙3
+3∙4∙3
-3∙5∙3
-2∙(-5)∙3
-3∙4∙6=
- 21

Слайд 8

Правило Саррюса- схема нахождения определителя 3-го порядка
a1 b2 c3+ b1 c2 a3

+ c1 a2 b3 - c1 b2 a3 - a1 c2 b3 - b1 a2 c3
Пример

2∙5∙6 +

+3∙2∙(-5)

4∙3∙3

-3∙5∙3

-2∙3∙(-5)

-4∙3∙6=

- 21

Слайд 9

Свойства определителей
Значение определителя не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а

столбцы – соответствующими строками.
Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя.
Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.
При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.
Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Слайд 10

Пример
Вычислить определитель 3-го порядка
Так как элементы 2-ой и 3-ей строки

одинаковы, то
определитель равен 0.

Слайд 11

Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.
Если a1/a2=b1/b2=c1/c2, то система сводится

к одному уравнению (например, первому), из которого одно выражается через два других, значения которых остаются произвольными.
Если a1/a2=b1/b2=c1/c2 не выполнено, то решения системы находятся по формулам

Слайд 12

Правило Крамера – метод решения системы линейных уравнений

Слайд 13

Варианты решений
Δ≠0– система имеет единственное решение
- формулы Крамера
Δ=0, Δx≠0, Δу

≠0, Δz ≠0- система не имеет решения
Δ=0, Δx=0, Δу =0, Δz =0-система имеет бесконечное множество решений

Слайд 14

Пример: Решить систему линейных уравнений

Слайд 15

Система трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными.
Линейное уравнение называется однородным, если его

свободный
член равен нулю.
Система линейных уравнений называется однородной, если все
входящие в нее уравнения являются линейными однородными
уравнениями.
Если определитель отличен от нуля, то она имеет единственное
решение x=0, y=0, z=0.
В противном случае она имеет бесконечное множество решений

Слайд 16

Понятие определителя n-го порядка.

Слайд 17

Минором Мij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го

порядка который получается путем вычеркивания в исходном определителе строки и столбца, содержащих элемент aij.

Аij=(-1) i+j Мij

Слайд 18

Теорема Лапласа
Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой
его строки(столбцов) на их

алгебраические дополнения, т.е.

Слайд 19

Пример: Вычислить определитель, разлагая его по элементам второго столбца

Слайд 20

Пример: Вычислить определитель 4-го порядка
Прибавим к первой строке удвоенную третью, ко

второй строке -третью, умноженную на -2, а к четвертой строке – третью, умноженную на -2:
Получили преобразованный определитель, который можно разложить по первому столбцу:
Теперь определитель 3-го порядка можно также разложить по строке (столбцу) или подсчитать по правилу треугольников, предварительно вынося за знак определителя общий множитель третьей строки

Слайд 21

Обобщение формулы Крамера на случай системы n - линейных уравнений.
Из коэффициентов

при неизвестных составим определитель, т.е.

Слайд 22

Варианты решений
Если для системы уравнений определитель Δ≠0, то система имеет единственное

решение
где определитель Δi - полученный из определителя
Δ заменой i-го столбца на столбец свободных
членов.

Слайд 23

Пример: Решить систему линейных уравнений
Вычислим определитель системы

Слайд 24

Поскольку ∆ ≠ 0, система уравнений может быть решена по формулам

Крамера. Найдем определители ∆x1 – ∆x4:

Слайд 25

Таким же образом высчитываем ∆х4 и получаем: ∆х1 = ∆х2 =

–∆х3 = ∆х4,
и, следовательно, х1 = х2 = –х3 = х4 = 1.

Таким же образом высчитываем ∆х4 и получаем: ∆х1 = ∆х2 = –∆х3 = ∆х4,
и, следовательно, х1 = х2 = –х3 = х4 = 1.

Слайд 26

Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами
или, в сокращенной записи, А=(аij); i=1,

2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: [ ], || ||.

Слайд 27

Виды матриц
Две матрицы А и В одного размера называются равными,

если они совпадают поэлементно, т.е. aij = bij для любых
i=1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
Матрица называется квадратной n-го порядка, если число
ее строк равно числу столбцов и равно n
Матрица, состоящая из одной строки, называется
матрицей-строкой, а из одного столбца-матрицей-столбцом

Слайд 28

Виды матриц
Матрица получающаяся из матрицы A
заменой строк столбцами (и

наоборот), называется
транспонированной (по отношению к матрице матрицей.
Матрица называется симметрической матрицей, если AT= A
кососимметрической, если AT= -A

Слайд 29

Линейные операции над матрицами.
Умножением матрицы на число k называется матрица,

каждый элемент которой умножен на это число.
Суммой двух матриц одинаковых размеров называется матрица, элементы которой равны суммам элементов исходных матриц, расположенных на соответствующих местах.
Разность двух матриц одинаковых размеров определяется через предыдущие операции: А - В=А+(-1)⋅ В.
Умножением матрицы на матрицу называется матрица, каждый элемент которой равен сумме произведения элементов i -й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы.

Слайд 30

Обратная матрица

Слайд 31

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Слайд 32

Пример: Найти матрицу, обратную к матрице

Слайд 33

Пример: Найти матрицу, обратную матрице А=
Найдем определитель исходной матрицы:
∆А=

Так как ∆А = 0, то данная матрица не является вырожденной, и для нее нельзя составить обратную матрицу

Слайд 34

Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы

Слайд 35

Пример: Решить систему уравнений

Слайд 36

Ранг матрицы.

Слайд 37

Методы вычисления ранга матрицы - метод окаймляющих миноров

Слайд 38

Пример: Найти ранг матрицы

Слайд 39

Совместность систем уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.

Слайд 40

Слайд-лекции по дисциплине Высшая математика

Содержание

Линейная алгебраСистема двух линейных уравнений с двумя неизвестными и понятие определителя

Понятие определителя 2-го порядкаОпределитель второго порядка, соответствующий таблице элементов , определяется

Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными

Варианты решенийΔ≠0– система имеет единственное решение - формулы КрамераΔ=0, Δx≠0, Δу

Определители 3-го порядка, вычисление и свойстваОпределитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов

Правило треугольников – схема нахождения определителя 3-го порядкаПример2∙5∙6 +2∙(-5)∙3+3∙4∙3-3∙5∙3-2∙(-5)∙3-3∙4∙6=- 21

Правило Саррюса- схема нахождения определителя 3-го порядкаa1 b2 c3+ b1 c2 a3

Свойства определителей Значение определителя не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а

ПримерВычислить определитель 3-го порядка Так как элементы 2-ой и 3-ей строки

Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.Если a1/a2=b1/b2=c1/c2, то система сводится

Правило Крамера – метод решения системы линейных уравнений

Варианты решенийΔ≠0– система имеет единственное решение - формулы КрамераΔ=0, Δx≠0, Δу

Пример: Решить систему линейных уравнений

Система трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными.Линейное уравнение называется однородным, если его

Понятие определителя n-го порядка.

Минором Мij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го

Теорема ЛапласаКаждый определитель равен сумме произведений элементов любойего строки(столбцов) на их

Пример: Вычислить определитель, разлагая его по элементам второго столбца

Пример: Вычислить определитель 4-го порядкаПрибавим к первой строке удвоенную третью, ко

Обобщение формулы Крамера на случай системы n - линейных уравнений.Из коэффициентов

Варианты решенийЕсли для системы уравнений определитель Δ≠0, то система имеет единственное

Пример: Решить систему линейных уравненийВычислим определитель системы

Поскольку ∆ ≠ 0, система уравнений может быть решена по формулам

Таким же образом высчитываем ∆х4 и получаем: ∆х1 = ∆х2 =

Понятие матрицы. Линейные операции над матрицамиили, в сокращенной записи, А=(аij); i=1,

Виды матриц Две матрицы А и В одного размера называются равными,

Виды матриц Матрица получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами (и

Линейные операции над матрицами. Умножением матрицы на число k называется матрица,

Обратная матрица

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Пример: Найти матрицу, обратную к матрице

Пример: Найти матрицу, обратную матрице А= Найдем определитель исходной матрицы: ∆А=

Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы

Пример: Решить систему уравнений

Ранг матрицы.

Методы вычисления ранга матрицы - метод окаймляющих миноров

Пример: Найти ранг матрицы

Совместность систем уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.

Пример: Установить совместимость системы

Похожие презентации

Линейная алгебра
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и понятие определителя

Понятие определителя 2-го порядка
Определитель второго порядка, соответствующий таблице
элементов , определяется

Варианты решений
Δ≠0– система имеет единственное решение
- формулы Крамера
Δ=0, Δx≠0, Δу

Определители 3-го порядка, вычисление и свойства
Определитель третьего порядка, соответствующий таблице
элементов

Правило треугольников – схема нахождения определителя 3-го порядка
Пример
2∙5∙6 +
2∙(-5)∙3
+3∙4∙3
-3∙5∙3
-2∙(-5)∙3
-3∙4∙6=
- 21

Правило Саррюса- схема нахождения определителя 3-го порядка
a1 b2 c3+ b1 c2 a3

Свойства определителей
Значение определителя не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а

Пример
Вычислить определитель 3-го порядка
Так как элементы 2-ой и 3-ей строки

Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.
Если a1/a2=b1/b2=c1/c2, то система сводится

Варианты решений
Δ≠0– система имеет единственное решение
- формулы Крамера
Δ=0, Δx≠0, Δу

Система трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными.
Линейное уравнение называется однородным, если его

Теорема Лапласа
Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой
его строки(столбцов) на их

Пример: Вычислить определитель 4-го порядка
Прибавим к первой строке удвоенную третью, ко

Обобщение формулы Крамера на случай системы n - линейных уравнений.
Из коэффициентов

Варианты решений
Если для системы уравнений определитель Δ≠0, то система имеет единственное

Пример: Решить систему линейных уравнений
Вычислим определитель системы

Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами
или, в сокращенной записи, А=(аij); i=1,

Виды матриц
Две матрицы А и В одного размера называются равными,

Виды матриц
Матрица получающаяся из матрицы A
заменой строк столбцами (и

Линейные операции над матрицами.
Умножением матрицы на число k называется матрица,

Пример: Найти матрицу, обратную матрице А=
Найдем определитель исходной матрицы:
∆А=