Тела и поверхности вращения

Школьный курс геометрии состоит из 2 частей:

планиметрия;
стереометрия.
В планиметрии изучаются свойства геометрических

Основные фигуры в пространстве:
точка прямая плоскость

α

Обозначение: А; В; С; …; М;…

а

Обозначение:

Некоторые геометрические тела.

параллелепипед

цилиндр

конус

Многогранники
Тело, которое ограничено плоскими многоугольниками, называется многогранником.
Многоугольники, образующие

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до

Элементы многогранника

В 1

А

В

С

Грани:
АBСD, АА1В1В, АА1D1D,
СС1В1В, СС1D1D, А1В1С1D1
Ребра:
АB, ВС, СD, DA, АА1,

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.
Многоугольники

Виды многогранников

Выпуклые

Невыпуклые

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону

Букет Пуансо

Букет Платона

Букет Архимеда

Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и

Изучением многогранников занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство,

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и

ТЕТРАЭДР

Тетраэдр – представитель платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.
Поверхность тетраэдра

КУБ (ГЕКСАЭДР)

Куб или гексаэдр – представитель платоновых тел, то есть правильных

ОКТАЭДР

Октаэдр – представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.
Октаэдр

ДОДЕКАЭДР

Додекаэдр – представитель
семейства платоновых тел.
Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в

ИКОСАЭДР

Икосаэдр – представитель платоновых тел.
Поверхность икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников,

ПРИЗМА

Призмой называется многогранник,

поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями

Площадь призмы

Sбок. + 2Sосн

Sбок. = Ph

a

b

h

Теорема: Площадь боковой поверхности прямой
призмы

КУБ, ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Параллелепипедом называется многогранник,

поверхность которого состоит из шести параллелограммов.

Прямоугольным параллелепипедом называется

ПИРАМИДА

Пирамидой называется многогранник,

поверхность которого состоит из многоугольника, называемого

основанием пирамиды, и

треугольников, имеющих

Многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника и треугольников, имеющих общую вершину

Многоугольник

Цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны.

Цилиндр

Площадь поверхности цилиндра

Sцилиндра = 2Sосн+Sбок

Sцилиндра= 2πR(R+h)

O

Sосн = πR2

Sбок = 2πRh

Конусом называется тело, образованное вращением прямоугольного треуголь -ника вокруг своего катета.

Конус

O

A

S

Площадь поверхности конуса

Sконуса = Sосн+Sбок

Sконуса= πR( R+l )

Sосн= πR2

Sбок= πRl

Шаром называется тело, полученное при вращении полукруга вокруг своего диаметра.

Шар

Площадь поверхности сферы

Sсферы = 4πR2

Объёмы геометрических тел.

Равные тела имеют равные объёмы.

За единицу объёма принимают объём

Куб-частный случай прямоугольного параллелепипеда. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Объём прямого параллелепипеда.

h

Объём прямой призмы.

h

Объём пирамиды .

Объём цилиндра.

h

Объём конуса .