В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, широко известный в узких кругах, математик Сергей Львович

а на продолжении стороны ВС за вершину С отмечена точка N так, что ВМ=МN. Доказать, что АМ=СN.
2. В выпуклом четырёхугольнике АВСD ےА=ےD. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и СD пересекаются в точке Р, лежащей на стороне АD. Доказать, что диагонали АС и ВD равны.
3. В четырёхугольнике АВСД точка Е – середина стороны ВС, а Ф – середина стороны ДС. Отрезки АФ и АЕ пересекают диагональ ВД в точках К и М. Известно, что ДК=КМ=МВ. Доказать, что АВСД – параллелограмм.
4. Точки К и Н -- середины сторон АВ и СД четырёхугольника АВСД. Отрезки ВН и КС пересекаются в точке О. Точки пересечения прямых АО и ДО со стороной ВС делят отрезок ВС на три равные части. Доказать, что АВСД – параллелограмм.

Д и Ф соответственно. Е – середина отрезка ДФ. Доказать, что АД+ФС≤АЕ+ЕС.
6. На плоскости даны ∆ АВС и точки Д и Е, такие, что ےАДВ=ےВЕС=90°. Доказать, что длина отрезка ДЕ не превосходит полупериметра ∆ АВС.
7. В выпуклом четырёхугольнике АВСД ےВАД+ےАДС=120° и АВ=ВС=СД. Доказать, что точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин А и Д.
8. ВД – биссектриса угла В треугольника АВС. Точка Е выбрана так, что ےЕАВ=ےАСВ, АЕ=ДС, и при этом отрезок ЕД пересекает отрезок АВ в точке К. Доказать, что КЕ=КД.

Постройте на сторонах угла точки В и С так, что ОВ+ОС=ОА и при этом сумма расстояний АВ и АС минимальна.
10. Точки Д, Е, Ф выбраны на сторонах АС, АВ, ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) так, что ДЕ=ДФ и при этом АЕ=ФС. Доказать, что углы ВАС и ФДЕ равны.
11. Внутри параллелограмма АВСД выбрана точка О так, что ےОАД=ےОСД. Доказать, что ےОВС=ےОДС.
12. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выбраны точки К и Л соответственно, так, что ےКСВ=ےЛАВ=α. Из точки В опущены перпендикуляры ВД и ВЕ на прямые АЛ и СК соответственно. Точка Ф – середина стороны АC. Найдите углы треугольника ДЕФ.

проходящей через В перпендикулярно А1С1, выбрана точка М≠В такая, что ےАМС=60°. Доказать, что ےАМВ=30°.
14. В ромбе АВСД на отрезке ВС нашлась точка Е такая, что АЕ=СД. Отрезок ЕД пересекается с описанной окружностью треугольника АЕВ в точке Ф. Доказать, что точки А, Ф, С лежат на одной прямой.
15. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС, а К – его проекция на медиану ВМ этого треугольника Доказать, что точки А, К, Н, С лежат на одной окружности. (радиус её равен радиусу окружности, описанной около треугольника АВС).
16. В трапеции АВСД диагональ АС равна сумме оснований АВ и СД. Точка М – середина стороны ВС. Точка В′ симметрична точке В относительно прямой АМ. Доказать, что ےАВД=ےСВ′Д.

в точках Х и У. Точка А′ симметрична точке А относительно прямой ВД. Доказать, что точки С, Х, У и А′ лежат на одной окружности.
18. Вписанную окружность спроецировали на стороны треугольника. Доказать, что шесть концов проекций принадлежат одной окружности.
19. В′ -- точка описанной окружности остроугольного ∆ АВС, диаметрально противоположная вершине В, И – центр вписанной окружности треугольника АВС. М – точка касания вписанной окружности со стороной АС. На сторонах АВ и ВС выбраны соответственно точки К и Л такие, что КВ=МС, ЛВ=АМ. Доказать, что В′И и КЛ перпендикулярны.

одна из двух точек пересечения этих окружностей. В каждой окружности проведён диаметр, параллельный касательной в точке А к другой окружности, причём эти диаметры не пересекаются. Доказать, что концы этих диаметров лежат на одной окружности.

21. Н – ортоцентр остроугольного треугольника АВС, Д -- середина стороны АС. Прямая, проходящая через Н перпендикулярно отрезку ДН, пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и Ф. Доказать, что НЕ=НФ.
22. Внутри выпуклого четырёхугольника отмечено четыре точки. Доказать, что на периметре четырёхугольника найдётся точка, сумма расстояний от которой до вершин больше, чем сумма расстояний до отмеченных точек.

Прямая, проведённая через С и середину АВ, вторично пересекает З в точке Е. Точка К – середина отрезка ДЕ. Докажите, что ےАКЕ=ےВКЕ
24. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки Д и Е соответственно, так что ВД+ДЕ=ВС, и ВЕ+ЕД=АВ. Известно также, что четырёхугольник АДЕС – вписанный. Доказать, что треугольник АВС – равнобедренный.
25. Окружности З1 и З2 пересекаются в точках А и В. На окружности З1 выбрана точка К. Прямые КА и КВ пересекают окружность З1 в точках С и Д, касательные к З1 в точках А и В пересекаются в точке Р. Точка К расположена вне З2, точки С и Д – вне З1. Доказать, что прямая КР проходит через середину отрезка СД.

(меньшей) дуге АВ описанной около треугольника окружности выбрана точка Л такая, что ЛС=СВ. при этом оказалось, что ےВЛВ1=90 ° . Доказать, что высота АА1 делится высотой ВВ1 пополам.
Ещё …
1. Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС). Через В параллельно основанию АС проведена прямая l. На АВ выбрана произвольная точка D. К DC строится серединный перпендикуляр до пересечения с прямой l в точке Е. Доказать, что треугольник CDE подобен треугольнику АВС.
2. Имеется (острый) угол с вершиной А и две окружности: меньшая касается стороны угла в точке В и пересекает другую сторону угла в точках С и С1 (С1 дальше от вершины А). Вторая окружность касается стороны АС1 угла в точке С1 и пересекает другую сторону угла в точках В и В1 (В1 дальше от вершины А). Доказать, что СВ параллельно С1В1.