Введение в математический анализ. Вводная лекция: термины и определения

совокупность объектов (элементов), объединённых по некоторому общему признаку, причём все элементы можно отличить друг от друга и от объектов, не входящих в эту совокупность.

Множества

Элементы теории множеств

Множество может быть пустым, то есть не содержать никаких элементов.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

множеств

Элемент а принадлежит множеству А:

Обозначение элементов множеств:

Пустое множество:

Элемент b не принадлежит множеству А:

Чтобы задать множество, необходимо перечислить его элементы или указать общее свойство объектов, принадлежащих множеству.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Операции над множествами

Множества можно сравнивать только на «равно» или «неравно», сравнение на «больше» или «меньше» недопустимо.

Элементы теории множеств

которое состоит из всех элементов, принадлежащих

хотя бы одному из множеств А и В.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

называется такое множество

которое состоит из всех элементов, принадлежащих

обоим множествам А и В одновременно.

Разностью множеств А и В называется такое множество

которое состоит из только из тех элементов

множества А, которые не принадлежат множеству В.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Е, то множество А называется подмножеством Е.

Обозначается:

Читается: множество А содержится во множестве Е, или множество Е содержит в себе множество А.

Пусть Е – некоторое основное множество.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

и сопоставить некоторому реальному объекту или величине.

Множество действительных чисел обозначается R.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Пусть задана числовая ось – некоторая прямая, на которой выбраны начало (точка отсчёта), масштаб и направление.

Тогда каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой оси, и наоборот, каждой точке на числовой оси соответствует единственное действительное число.

Введение в математический анализ

Действительные числа

= b,
либо a > b,
либо a < b.

Действительные числа

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Точки, изображающие действительные числа, располагаются на числовой оси в порядке возрастания:

если a > b, то точка a располагается правее точки b.

Введение в математический анализ

действительного числа

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

Из определения модуля следует, что

Пусть a и b – произвольные действительные числа. Тогда:

1)

2)

3)

4)

Введение в математический анализ

ε-окрестностью) называется множество действительных чисел Uε(a), удалённых от точки a на расстояние, меньшее ε.

Окрестность точки

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

То есть,

Действительные числа обладают свойством отделимости: если a и b – два различных действительных числа, то их всегда можно отделить друг от друга непересекающимися окрестностями.

Определение 2:

Проколотой ε-окрестностью точки x = a называется окрестность Uε(a), из которой исключена точка a.

Обозначается:

Введение в математический анализ

к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

При этом по определению выполняются соотношения:

– минус бесконечность;

– плюс бесконечность.

1)

2)

3)

Введение в математический анализ

к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

При этом также выполняются соотношения:

– минус бесконечность;

– плюс бесконечность.

5)

6)

4)

Операции

не определены.

Введение в математический анализ

и число «нуль», то получится множество целых чисел.

Множество целых чисел обозначается Z.

Элементы теории множеств

Числовые подмножества

Натуральные числа:

Натуральными называются числа, употребляемые для счёта.

Множество натуральных чисел обозначается N.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

чисел обозначается J.

Элементы теории множеств

Числовые множества

Рациональные числа:

Рациональными называются числа, которые могут быть

Множество рациональных чисел обозначается Q.

где m – целое число, а n – натуральное число.

представлены в виде

называются иррациональными.

Примеры:

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

всеобщности:

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

или ложно.

Элементы математической логики

Если из истинности высказывания А следует истинность высказывания В, то этот факт записывают так:

Читается так:

1) из А следует В; 2) А – достаточное условие для В; 3) В – необходимое условие для А.

Если

и

то говорят, что высказывания А и В

равносильны, или эквивалентны. Другое обозначение:

Читается так:

1) А необходимо и достаточно для В; 2) А тогда и только тогда, когда В.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР

принимается без доказательств.

Построение цепочки следствий

где А – посылка, В – заключение.

Теорема может быть обозначена как

каждое из которых является либо аксиомой, либо уже доказанным утверждением.

Теорема – математическое утверждение, истинность которого установлена путём доказательства.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент Кафедра высшей математики БГУИР