Презентации по Математике

ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ? Модель в общем смысле (обобщенная модель) есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта-оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом. Для теории принятия решений наиболее полезны модели, которые выражаются словами или формулами, алгоритмами и иными математическими средствами. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА? Математическая модель процесса – это система математических и логических правил, позволяющих с достаточной полнотой и точностью описывать наиболее существенные стороны, присущие процессу, прогнозировать возможный ход и исход его по определённым исходным данным и оценивать эффективность вариантов решений и планов.

Цель работы: облегчить изучение таблицы умножения для одноклассников Задачи исследования: Подготовить материал по истории появления таблицы умножения. Оценить роль таблицы умножения в жизни человека. Найти и изучить различные способы изучения таблицы умножения. Предложить одноклассникам выявленные способы запоминания таблицы и провести исследование эффективности найденных методов. Подвести итог проделанной работы

* Шар (сфера) называются вписанными в многогранник, если все грани многогранника касаются поверхности шара (сферы). * Шар (сфера) называются описанными около многогранника, если все вершины многогранника принадлежат поверхности шара (сфере). R

Лекция №1 Измерение – нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Признаки измерения: Измерять можно свойства только реально существующих объектов (т.е. физические величины); Измерения требуют проведения опытов (экспериментов); Для проведения опытов (измерений) требуются специальные технические средства – средства измерений; Результатом измерений является нахождение значений физической величины.

МЕТОД БЛЭКМАНА-ТЬЮКИ (1) 1) Метод Блэкмана-Тьюки основан на использовании теоремы Винера-Хинчина. 2) Теорема Винера-Хинчина: спектральная плотность мощности (СПМ) представляет собой фурье-изображение автокорреляционной функции (АКФ) последовательности x(n) бесконечной длины МЕТОД БЛЭКМАНА-ТЬЮКИ (2) 3) При конечной длине N формула приобретает вид: 4) АКФ является четной функцией длины L=2N-1. 5) АКФ является центрированной относительно m=0 (четная функция сдвига m). 6) Метод назван по именам Блэкмана и Тьюки в силу следующих предложений:

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСКАЗАНИЕ Метод Юла-Уолкера оценки параметров АР-модели (автокорреляционный метод) 1) Оценивание параметров АР-модели производится по отсчетам анализируемой последовательности длины L. 2) Моделируемая последовательность рассматривается как линейное предсказание вперед анализируемой последовательности x(n). 3) Виды линейного предсказания: линейное предсказание вперед; линейное предсказание назад. ОШИБКА ЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСКАЗАНИЯ Ошибка линейного предсказания (ЛП) Разность между истинным значением отсчета и его оценкой Аналитическое выражение для анализируемой последовательности Сравнение анализируемой последовательности с моделируемой Если ошибка ЛП – нормальный белый шум, параметры ЛП будут совпадать с параметрами АР-модели.

ЗАНИЖЕННЫЙ И ЗАВЫШЕННЫЙ ПОРЯДОК АР-МОДЕЛИ Порядок АР-модели обычно заранее неизвестен. 1) выбор заниженного порядка АР-модели; 2) выбор завышенного порядка АР-модели. Заниженный порядок АР-модели Следствие – избыточное сглаживание оценки СПМ (неразличимость малых пиков), которая не отражает истинную структуру СПМ в частотной области. Завышенный порядок АР-модели Следствие – появление ложных пиков в оценке СПМ, что нарушает (снижает) ее информативность. ОЦЕНИВАНИЕ ПОРЯДКА АР-МОДЕЛИ. КРИТЕРИЙ БАЙЕСА Оптимальное оценивание порядка АР-модели анализируемой последовательности Осуществляется на основе использования специальных информационных критериев. Информационные критерии (разновидности) 1) критерий Акаике; 2) критерий Байеса; 3) критерий финальной ошибки предсказания. Информационный критерий Байеса

Структура курса Задачи и методы анализа данных Корреляционный анализ данных Регрессионный анализ данных Поиск ассоциативных взаимосвязей Кластеризация Классификация Снижение размерности многомерного признака. Отбор наиболее информативных показателей. Факторный анализ Исследование и прогнозирование временных рядов Структура курса Генетические алгоритмы и эволюционное моделирование задач анализа данных Statistica PolyAnalyst SPSS Deductor Excel

ФОРМИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Формирование последовательности на основе АР-модели: a = [1 -0.6911 -0.289 0.177 0.1739 -0.2386 0.1231] ОЦЕНКА ПОРЯДКА МОДЕЛИ Информационный критерий Байеса

СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЛИНЕЙНОГО АФ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПРИМЕНЕНИЕ АДАПТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ 1) оценивание импульсной характеристики неизвестной системы (КИХ-системы и БИХ-системы); 2) очистка сигнала от шума (шумоподавление); 3) выравнивание частотной характеристики неизвестной системы, например, канала связи (компенсация искажений, вносимых неизвестной системой); 4) оценка параметров линейного предсказания сигнала.

СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЛИНЕЙНОГО АФ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ЦЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ 1) изучить метод эхоподавления (эхокомпенсации) на основе адаптивной фильтрации с использованием структуры прямой идентификации; 2) выполнить компьютерное моделирование метода эхоподавления в среде MATLAB; 3) исследовать качество эхоподавления на основе выбранных критериев; 4) выполнить компьютерное моделирование эхоподавления в среде MATLAB при различных моделях сигналов.

СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЛИНЕЙНОГО АФ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ЦЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ 1) изучить метод идентификации многолучевого канала связи при распространении сигнала от источника к приемнику по нескольким трактам с использованием структуры прямой идентификации; 2) выполнить компьютерное моделирование метода идентификации многолучевого канала связи с использованием программных средств MATLAB; 3) получить оценку импульсной характеристики многолучевого канала связи.

ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (1) Скалярные произведения для вычисления вейвлет-коэффициентов ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (2) Соотношения для вейвлет-коэффициентов Функциональный ряд для функции f(x) Коэффициенты для расчета

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (1) Спектральная плотность базисного вейвлета на нулевом уровне ( j=0 ) Вид базисной функции во временной области ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (2) Вещественная и мнимая части базисной функции

ОЦЕНИВАНИЕ СПМ (1) Алгоритм оценивания СПМ позволяет вычислять следующие параметры: 1) СПМ стационарных участков; 2) энергию, приходящуюся на заданные полосы частот. Алгоритм применяется в следующих случаях: 1) СПМ сигналов имеет сложную нерегулярную структуру и характеризуется наличием распределенных локальных особенностей; 2) Наличие сигналов (процессов) с непрерывным спектром; 3) Обработка спектральных отсчетов (в частотной области) без непосредственного использования отсчетов во временной области; 4) Обработка зашумленных сигналов (при высоком уровне шума). ОЦЕНИВАНИЕ СПМ (2) Алгоритм может также применяться для решения следующих задач: 1) получение оценки СПМ сигналов для последующего исследования распределения энергии по частотным полосам и исследования локальных особенностей в виде узких пиков, глубоких провалов, резких изменений и пр.; 2) сглаживание СПМ при неизвестных отсчетах во временной области.

МАТРИЦА ГАРМОНИЧЕСКОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (1) Векторно-матричная форма гармонического вейвлет-преобразования V – искомая матрица гармонического вейвлет-преобразования, a – вектор вейвлет-коэффициентов, s – вектор отсчетов исходного сигнала. RF – ортогональная матрица ДПФ с нормой, равной длине исходного сигнала s, u – вектор Фурье-коэффициентов, Q – матрица перехода от Фурье-коэффициентов к вейвлет-коэффициентам. МАТРИЦА ГАРМОНИЧЕСКОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (2) Векторно-матричная форма гармонического вейвлет-преобразования Zmxm – матрица нулей размером mxm, RF(mxm) – матрица ДПФ размерности m.

ОЧИСТКА СИГНАЛОВ ОТ ШУМА (1) 1) Определение шумовых уровней гармонического вейвлет-разложения; 2) Применение критерия на основе автокорреляционной функции (АКФ); 3) Используется смещенная оценка нормированной АКФ. Если доверительный интервал для более чем 5% значений АКФ не накрывает нуль (то есть левая и правая границы доверительного интервала имеют разные знаки), то исследуемая АКФ не соответствует белому шуму; в противном случае вейвлет-коэффициенты исследуемого уровня соответствуют белому шуму. ОЧИСТКА СИГНАЛОВ ОТ ШУМА (2) Свойство линейности гармонического вейвлет-преобразования (на примере анализа вибрационных сигналов)

«Скажи мне – и я забуду. Покажи мне – и я запомню. Вовлеки меня – и я научусь.» Древняя китайская пословица Верно ли, что если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны? верно

ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРЫ (1) Мультигармонический сигнал ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРЫ (2) Параметры мультигармонического сигнала ; ; ; ; ; ; ;

МЕТОДЫ МНОГОСКОРОСТНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ (1) Многоскоростные системы ЦОС Системы ЦОС, в которых различные этапы цифровой обработки выполняются на разных частотах дискретизации — разных скоростях поступления отсчетов. Преобразование частоты дискретизации МЕТОДЫ МНОГОСКОРОСТНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ (2) Преобразование частоты дискретизации Передискретизация Повышение или понижение частоты дискретизации на рациональный коэффициент L/ M реализуется каскадным соединением систем интерполяции с коэффициентом L и децимации с коэффициентом M.

ОДНОКРАТНАЯ ДЕЦИМАЦИЯ (1) Система однократной децимации 1) цифровой ФНЧ; 2) компрессор. ОДНОКРАТНАЯ ДЕЦИМАЦИЯ (2) Идеальная АЧХ цифрового ФНЧ

ОДНОКРАТНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (1) Система однократной интерполяции 1) экспандер; 2) цифровой ФНЧ. ОДНОКРАТНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (2) Промежуточный сигнал Идеальная АЧХ цифрового ФНЧ

ОДНОКРАТНАЯ ПЕРЕДИСКРЕТИЗАЦИЯ (1) Структура системы (с двумя ФНЧ) ОДНОКРАТНАЯ ПЕРЕДИСКРЕТИЗАЦИЯ (2) Структура системы (с одним ФНЧ) Идеальная АЧХ ФНЧ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (1) 1) Система обработки сигналов – объект, выполняющий требуемое преобразование входного сигнала (воздействия) в выходной (реакцию); 2) Под системой обработки сигналов также понимают программу, реализующую заданный алгоритм или заданные алгоритмы; 3) Рассматривают на практике программную, аппаратную и программно-аппаратную реализацию системы; 4) Под системой может также пониматься физическое устройство и математическое преобразование; 5) Математическая модель системы – ее соотношение вход/выход, которое устанавливает связь между входным и выходным сигналами. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (2) Систему называют линейной, если она отвечает условиям аддитивности (реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на данные воздействия) и однородности (воздействию, умноженному на весовой коэффициент, соответствует реакция, умноженная на тот коэффициент). Аддитивность Линейность (принцип суперпозиции, принцип наложения)