Физико-математические основы РКТ

Радона:
Метод двумерной фильтрации
Метод Фурье-синтеза
Метод одномерной фильтрации

– s = 0
где: s - расстояние от начала координат до этой прямой;
Θ - угол, образованный с осью перпендикуляром, опущенным из начала координат на эту прямую.
Произвольная прямая L однозначно задается двумя параметрами s и Θ.

свойства δ-функции Дирака преобразование Радона можно представить в виде:

Подставляя µθ(ξ,ζ) получим интегральное преобразование Радона для двумерной функции µ(x,y):

(1.7)

(1.8)

интегральное преобразование Радона R(s,φ) для двумерной функции f(x,y):

R(s,φ)

f(x,y)

связанных с искомой функцией интегральным преобразованием Радона (1.7, 1.8).
С математической точки зрения необходимо указать метод обращения интегрального преобразования Радона.

Гильберта (Н)

Интегрирование по углу θ называется обратным проецированием.

Чтобы найти функцию µ(x,y) необходимо:
продифференцировать по ξ измеренные проекции;
вычислить гильберт-образы полученных производных;
провести обратное проецирование.

p(ξ,θ) получают на дискретном массиве точек, что затрудняет выполнение операции дифференцирования;
Не учитываются погрешности измерений (ширина пучка, рассеяние рентгеновского излучения, квантовые флуктуации и пр

ОБРАЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В дискретном виде – решение системы линейных (нелинейных) уравнений, как правило методом итераций

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Метод двумерной фильтрации (метод ρ-фильтрации)
Метод Фурье-синтеза
Метод одномерной фильтрации (метод фильтрованных обратных проекций)

проецирования;
Двумерная фильтрация суммарного изображения, результатом которой является оценка исходного изображения
Операция обратного проецирования:
Для каждой проекции p(ξ,θ) находится обратная проекция b(x,y,θ):
т.е. значение отсчета p(ξ,θ) приписываем всем точкам, лежащим на прямой ξ=x·cosθ + y·sinθ в неподвижной системе координат.
Суммарное изображение g(x,y) получится суперпозицией всех обратных проекций:

1. Метод двумерной фильтрации (метод ρ-фильтрации)

ρ-фильтрация

g(x,y) , которое может быть удовлетворительным для простых изображений и сопоставимо по качеству с изображением, получаемым с помощью традиционной нелинейной томографии.
Суммарное изображение g(x,y) связано с искомой функцией µ(x,y) уравнением свёртки:

ρ-фильтрация

суммирование обратных проекций

p(ξ,θ1)

p(ξ,θ2)

p(ξ,θ3)

b(x,y,θ1)

b(x,y,θ2)

b(x,y,θ3)

ρ-фильтрация

показать, что ядро двумерной свёртки h2(x,y) имеет вид:
Следовательно нужна дополнительная операция фильтрации, т.е. решение свёртки (1.21) с известным ядром h2(x,y). Для этого необходимо перейти в Фурье пространство и воспользоваться теоремой о двумерной свёртке:
где F2{…}-двумерное преобразование Фурье
Тогда двумерный Фурье-образ искомой функции µ(x,y) будет равен:
А оценка исходного изображения
где F2-1{…}- обратное двумерное преобразование Фурье

Двумерная фильтрация суммарного изображения

(1.21)

(1.23)

ρ-фильтрация

причинам:
При измерениях проекции p(ξ,θ) определяются с некоторой ошибкой. Поэтому проецирующая функция δ(ξ) в (1.7) строго говоря, должна быть заменена более протяженной и физически более адекватной чётной функцией, пространствен-ный спад которой достаточно быстро убывает. Следовательно, суммарное изображение g(x,y) и восстановленное по (1.23) изображение будут получены с некоторой ошибкой.
Если Фурье-образ ядра h2(x,y) будет иметь близкие к 0 значения (x,y → ∞), то полученная оценка может сколь угодно сильно отличаться от истинного изображения µ(x,y), что является отражением общей некорректности задачи решения интегральных уравнений первого рода, к которым относится свёртка.
При реальных вычислениях вводят аподизирующую функцию (функцию окна) A2(u,v) в Фурье-пространстве (u, v- декартовы координаты в фурье-пространстве). Эта функция учитывает априорную информацию и регулирует некорректную задачу решения свёртки.
Таким образом, регуляризованная оценка искомого изображения будет равна:

Двумерная фильтрация суммарного изображения

ρ-фильтрация

свёртки h2(x,y) в полярной системе координат зависит только от модуля радиус-вектора r:
Можно показать, что фурье-образ ядра свёртки Н2(u,v) в полярной системе координат также зависит только от модуля радиус-вектора ρ:
Поскольку Н2(ρ) зависит только от радиуса ρ, аподизирующую функцию также выбирают зависисящей только от радиуса ρ:

В качестве аподизирующей функции («окна») часто используют:
функцию в виде прямоугольного импульса, ограниченного по полосе частот;
косинусную функцию;
синусную функцию;
обобщённую функцию Хемминга.

ρ-фильтрация

аподизирующая функция

теореме о центральном сечении, устанавливающей связь между одномерным фурье-образом проекции p(ξ,θ) по переменной ξ и двумерным фурье-образом искомого распределения µ(x,y).
Одномерный фурье-образ проекции p(ξ,θ) по переменной ξ в полярной системе координат (r,φ) равен :
[существует только в точках ξ = r·cos(θ - φ)]
Двумерный фурье-образ искомого распределения µ(x,y) в полярной системе координат (ρ,ψ) равен :
Очевидно, если заменить χ на ρ, а θ на ψ, то получим соотношение:
т.е. одномерный фурье-образ проекции p(ξ,θ) , полученной при уголе θ, является сечением (фрагментом) двумерного фурье-образа искомого распределения µ(x,y) по линии, проходящей через начало координат (центральное сечение) и повернутой на угол θ.

Фурье-синтез

двумерный фурье-образ искомого изображения М(ρ, ψ), которое затем можно восстановить с помощью двумерного обратного преобразования Фурье.

Отсчёты фурье-образа M(ρ,ψ) искомой функции µ(x,y) находятся на полярной сетке, а обратное преобразование Фурье необходимо выполнять на декартовой сетке. Поэтому декартовы отсчёты M(u,v) находят путем интерполяции полярных отсчётов с использованием, как правило, линейной интерполяции по ближайшим четырем отсчётам:

Мд — декартов отсчёт;
Мп1 - Мп4 — полярные отсчеты;
d1 - d4 — расстояния от декартова отсчёта до соответствующих полярных отсчётов.

Фурье-синтез

преобразование Фурье
Интерполяция данных в Фурье-пространстве
Обратное двумерное быстрое преобразование Фурье
(БПФ)1 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ  (ОБПФ)2 

Алгоритм реконструкции, основанный на двумерном преобразовании Фурье, относится к наиболее быстрвм алгоритмам и позволяет начинать обработку экспериментальных данных в процессе измерений.

Фурье-синтез

Центральное сечение двумерного преобразования Фурье

методе:
Одномерная фильтрация каждой проекции;
Операция обратного проецирования, результатом которой является оценка искомого изображения.

Выражение для отфильтрованной обратной проекции имеет вид:

[oдномерная функция ядра свертки h1(ξ) пока неизвестна и подлежит определению]
На втором этапе необходимо произвести операцию обратного проецирования, т.е. найти обратную проекцию b(x,y,θ):

Метод ФОП

получить суммарное изображение , которое и должно быть оценкой искомого распределения µ(x,y):

Тогда функция ядра свертки h1(ξ) в интегральном представлении имеет вид:

Поскольку при χ → ∞ значение функции ядра свертки h1(ξ) → ∞, то необходимо (как в методе ρ-фильтрации) ввести аподизирующую функцию А1(χ):

Метод ФОП

методе ρ-фильтрации. Рассмотрим, например, аподизирующую функцию в виде прямоугольного импульса, ограниченного по полосе частот :

Тогда функция ядра свертки h1(ξ) будет иметь следующий вид:

В реальных измерениях проекции p(ξ,θ) получают в виде набора дискретных значений p(ξn,θ) = p(n·Δξ,θ), n = 0; ±1; ±2; …., поэтому необходимо вычислить значения функции ядра в точках измерений h1((ξn) = h1(n·Δξ).

Метод ФОП

от нуля только на интервале [-χ0, +χ0], то она может быть представлена своим дискретным отсчётом в виде ряда:

Т.к. используемая аподизирующая функция зануляет фурье-образ Н1(χ) ядра h1(ξ) вне интервала [-χ0, +χ0], то для предотвращения потери информации мы должны снимать отсчёты с дискретностью Δξ ≤ π / χ0 .

Следовательно, дискретные значения функции ядра свертки h1(n·Δξ) будут равны:

следующий вид:

Метод ФОП

диаметр объекта исследования.
Число отсчётов в проекции Nξ равно:

Чтобы изображение имело одинаковое по всем направлениям разрешение, наивысшие пространственные частоты должны иметь одинаковый шаг дискретизации в радиальном и азимутальном направлениях в окрестности ρ0 в Фурье-пространстве.
Число угловых отсчётов Nθ выбирается таким образом, чтобы оно было равно числу проекций в области углов 0 ≤ θ ≤ 180º.

Шаг в радиальном направлении θ равен

Метод ФОП

Шаг в азимутальном направлении ρ равен

Приравняв интервалы между отсчётами в Фурье-пространстве в радиальном
и азимутальном направлении при ρ = ρ0, получим:

с шагом:

При числе отсчётов в проекции Nξ = 253 ÷ 1024 интервал дискретизации по углу ΔΘ = 2/Nξ = 0,45º ÷ 0,11º, а общее число отсчётов будет равно: Nξ×NΘ = (1 ÷ 16)·105.

Пример:
при Н = 420 мм и ширине щели коллиматора ω = 3мм (ω = 1/ρ0) получим:
Nξ ≥ 2 ρ0Н = 2·0,33·420 = 277;
Δξ = ω/2 = 3/2 = 1,5 [мм]
NΘ = (π/2)·Nξ = 1.57·277 = 435
ΔΘ = π/NΘ = 3.14/435 = 0.072 [рад] = 0,41º
Nξ×NΘ = 277·435 = 1,2·105.
Эти данные примерно соответствуют параметрам серийных томографов.

Метод ФОП

тогда: