Спектралды талдау

Ортогонал функциялар жүйенің толықтығы.
1,cos nx,sin nx ,… n=1,2,3,4,… тригонометриялық жүйе L2 [-π, π] кеңістігінде толық ортогонал болады

Фурье қатары. Жинақталуы L2 [-π, π] метрикада орындалады
[0, π], [a,b],[0,1]-дегі басқа ортогонал жүйелер

орташа мағынада жинақталу
Lp метрикада жинақталу
Чезаро бойынша бір қалыпты жинақталу
әлсіз жинақталу
Дини шарты: белгілі бір δ>0 үшін

болсын. Әр нүктеде f функцияның оңжақты және сол жақты туындылары болсын. Онда бұл функцияның Фурье қатары барлық нүктелерде жинақталады және оны шегі үзіліссіз нүктелерде f(x) - ке тең,
ұзіліс нүктелерінде
½( f (х+0) + f (х-0)) –ке тең
Ортонормалданған жүйе үшін Парсеваль теңдгі орындалады. Нормаланбаған жүйе үшін – Бессель теңсіздігі орындалады

жүйелер
Тригонометриялық жүйе
Лежандра. Көпмүшеліктері. [-1,1] -де анықталған xn бір мұшеліктер дің ортогонализациясы арқылы табылады.
Эрмит функциялары : Эрмита көпмүшеліктерін Фурье түрлендірудің меншікті функциясына көбейту арқыла табылады
Бүкіл сандық сызығында ортогонал жүйе болады
Келесі жай дифференциал теңдеудің шешімі арқылы табылады:

Формулалары:

μ = -(2n+1), n=0,1,2,3,…

- Фурье қатарының коэффициенттер жиыны.
Фурье қатарының жинақталуы функцияның дифференциалдану қасиеттеріне тәуелді.
Келесі теоремалар орындалады:
Жекелеп шекке өту
Функционалды қатарды қарастырайық:
(1)
Теорема1. un(x) (n=1,2,3,…) функциялар X облысында анықталсын және x →a шегі болсын.
Егер (1) қатары X облысында бір қалыпты жинақталса, онда
Шектерден құрастырылған қатар жинақталады
және (1) қатардың қосыныдысы ның да шегі болады, және :
Осыған ұқсас жеке интегралдау және жеке дифференциалдау теоремалары орындалады
Қатарды жеке туындау
Теорема. un(x) (n=1,2,3,…) функциялар Χ=[a,b] кесіндіде анықталсын және ол кесіндіде олардың u΄ n(x). туындалары да анықталатын болсын. Егер (1) қатар тым болмаса « нүктеде жинақталса, және туындлардан тұрғызылған қатар Х аралықта бір қалыпты жинақталса, онда берілген (1) қатар Х аралықта бір қалыпты жинақталады және оның қосындысы келесі формуламен анықталады

қолдануы – дифференциалды
теңдеулердің шешімдерін алу.
Лаплас теңдеуінің қолданулары - теңдеудің өлшем ретін
азайту және типын өзгертуі мүмкін