Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической функции

Июль 31, 2022

Главная
Математика
Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической функции

Содержание

2. Теорема 4.1 Если дифференцируема в точке то в точке условия Коши-Римана. Доказательство.
3. ■
4. Пусть f(z)∈C(g), Теорема 4.2 Если в точке дифференцируемая в точке то Доказательство. и
5. Обозначим
6. ■ Замечания.
7. 2. Теорема 4.2 не обратная к теореме 4.1 Если f(z) дифференцируема в точке z0, то она
8. Основное определение. f(z) дифференцируемая в ∀ z∈g, f ’(z) ∈C(g) называется аналитической функцией в g. Обозначение:
9. Доказательство. Необходимость. Из Т.4.1 => Достаточность. Из Т.4.2 т.к. Т.к. ■
10. Замечание. Далее будет показано, что из Основное замечание. Условие —лишнее. Альтернативное определение. f(z) дифференцируемая в ∀
11. Теорема 4.4 Если и в точке дифференцируемая в точке то Теорема 4.5 Необходимым и достаточным условиями
12. Оказывается, что производная «аналитической» функции непрерывна в g, причем для ∀n f(n)(z)∈C(g), т.е. класс «аналитических» функций
13. Следствия условий Коши-Римана Обратно, пара гармонических в g функций u(x,y) и v(x,y), связанные условиями Коши- Римана,
15. Свойства аналитических функций.
17. ■
21. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.
24. Свойство постоянства растяжения.
25. определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к ∀ гладкой кривой γ, проходящей через точку
26. Свойство сохранения углов. для ∀γ2 : z0∈γ2 : Φ2=ϕ2+α => Φ=Φ2-Φ1=ϕ2-ϕ1=ϕ (сохраняется величина и направление углов).
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Теорема 4.1 Если
дифференцируема в точке
то
в точке
условия Коши-Римана.
Доказательство.

Слайд 3

■

Слайд 4

Пусть f(z)∈C(g),
Теорема 4.2 Если в точке
дифференцируемая в точке
то
Доказательство.
и

Слайд 5

Обозначим

Слайд 6

■
Замечания.

Слайд 7

2. Теорема 4.2 не обратная к теореме 4.1
Если f(z) дифференцируема

в точке z0, то она и непрерывна в этой точке.
Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример.

Слайд 8

Основное определение. f(z) дифференцируемая в ∀ z∈g, f ’(z) ∈C(g) называется

аналитической функцией в g.

Обозначение:

Понятие аналитичности функции определяет глобальное поведение f(z) в области g.

Теорема 4.3 Необходимым и достаточным

условиями

являются

и

условия Коши-Римана.

Слайд 9

Доказательство.
Необходимость.
Из Т.4.1 =>
Достаточность.
Из Т.4.2 т.к.
Т.к.
■

Слайд 10

Замечание. Далее будет показано, что из
Основное замечание. Условие
—лишнее.
Альтернативное определение.
f(z) дифференцируемая

в ∀ z∈g, называется «аналитической» функцией в g.

Вместо Теорем 4.2 и 4.3 будут

Слайд 11

Теорема 4.4 Если
и
в точке
дифференцируемая в точке
то
Теорема 4.5 Необходимым и достаточным
условиями

являются

и

«аналитичности»

в g

Слайд 12

Оказывается, что производная «аналитической» функции непрерывна в g, причем для ∀n

f(n)(z)∈C(g), т.е. класс «аналитических» функций не является расширением введенного нами класса, а полностью с ним совпадает.

Слайд 13

Следствия условий Коши-Римана
Обратно, пара гармонических в g функций u(x,y) и

v(x,y), связанные условиями Коши- Римана, являются действительной и мнимой частью аналитической функции.

Слайд 14

Слайд 15

Свойства аналитических функций.

Слайд 16

Слайд 17

■

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.

Слайд 22

Слайд 23

Слайд 24

Свойство постоянства растяжения.

Слайд 25

определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к ∀ гладкой

кривой γ, проходящей через точку z0, чтобы получить касательную к образу этой кривой в точке w0=f(z0).

Слайд 26

Свойство сохранения углов.
для ∀γ2 : z0∈γ2 : Φ2=ϕ2+α => Φ=Φ2-Φ1=ϕ2-ϕ1=ϕ (сохраняется

величина и направление углов).