Логарифмические неравенства

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Логарифмические неравенства

Содержание

2. Определение: Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими. Например:
3. I. Типы простейших логарифмических неравенств или называются простейшими логарифмическими неравенствами Неравенства вида или Неравенства можно переписать
4. Решение логарифмических неравенств основано на свойстве монотонности функции y = logat : при a > 1
5. Методы решения логарифмических неравенств. І) Неравенство вида logaf(x) > c (или logaf(x) > c, logaf(x) >
6. Пример. Решить неравенство log7(4x + 1) ≥ 2 Решение. log7(4x + 1) ≥ log749 4x +
7. 2) Если 0 убывает на R+ и неравенство logaf(x) > c равносильно системе Систему в этом
8. Пример. Решить неравенство log1/2(1 – x) > 2 Решение. log1/2(1 – x) > log1/2(1/4) 3/4 Ответ:
9. І І. Неравенство вида logaf(x) > logaφ(x) или logaf (x) 1) Если a > 1, то
10. Пример. Решить неравенство lgx2 > lg(5x – 4) Решение. Ответ: (0,8;1)∪(4;∞).
11. 2) Если 0 убывает на R+ и неравенство logaf(x) > logaφ(x) равносильно системе І І. Неравенство
12. Пример. Решить неравенство log1/3(3x – 4) ≥ log1/3(x2 – 2) Решение. Ответ: [ 2; ∞).
13. Простейшие логарифмические неравенства.
14. І І І) Неравенства, требующие предварительных преобразований. 1) Находят ОДЗ неравенства. 2) Преобразуют неравенство к виду
15. Пример. Решить неравенство log 2(x – 1) + log 2x ≤ 1 Решение. Ответ: ( 1;
16. Отсюда имеем lg x lg x т. к. a = 10 > 1, x >0, то
17. IV. Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма Теорема 1. Если а > 0, a
18. Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма Замечание- соглашение. Для упрощения записей целесообразно ввести символ
19. Пример 1. Решите неравенство logx+7(2x2-6x+8)≤logx+7(x2+x-2). Решение: logx+7(2x2-6x+8) ≤ logx+7(x2+x-2) Так как D -6 -7 -2 1
20. Следствие 2. При допустимых значениях a и b неравенство logab v 0 равносильно неравенству (a -1)(b
22. Теорема 2. При допустимых значениях a ,b , c, d неравенство logab logcd v 0 равносильно
23. При допустимых значениях a ,b , c неравенство logab - logcb v 0 равносильно неравенству (a
25. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение:
Неравенства, содержащие переменную
под знаком логарифма, называются
логарифмическими.
Например:

Слайд 3

I. Типы простейших логарифмических неравенств
или
называются простейшими
логарифмическими неравенствами
Неравенства вида
или
Неравенства можно переписать

Слайд 4

Решение логарифмических неравенств основано на свойстве монотонности
функции y = logat

: при a > 1 логарифмическая функция возрастает и при 0 < a < 1 убывает.

y = logat, a > 1

y = logat, 0 < a < 1

Слайд 5

Методы решения логарифмических неравенств.
І) Неравенство вида logaf(x) > c

(или < c ).

logaf(x) > c,

logaf(x) > c⋅ logaa ,

logaf(x ) > logaac .

Если a > 1,то
функция y = logat
возрастает на R+ и
неравенствоlogaf(x)> c
равносильно системе

f(x) > 0 – это ОДЗ
f(x) > ac – это монотонность

или

f(x) > ac

a > 1

Слайд 6

Пример. Решить неравенство
log7(4x + 1) ≥ 2
Решение.
log7(4x + 1)

≥ log749

4x + 1 ≥ 49,
x ≥ 12

Ответ: x ≥ 12 .

Так как (a = 7 > 1)

Слайд 7

2) Если 0 < a < 1, то функция y =

logat
убывает на R+ и неравенство
logaf(x) > c равносильно системе

Систему в этом случае упростить
нельзя.

Слайд 8

Пример. Решить неравенство
log1/2(1 – x) > 2
Решение.
log1/2(1 – x)

> log1/2(1/4)

3/4 < x < 1

Ответ: ( 0,75; 1) .

Слайд 9

І І. Неравенство вида logaf(x) > logaφ(x)
или logaf (x)

< logaφ(x).

1) Если a > 1, то функция y = logat
возрастает на R+ и неравенство
log a f (x) > log aφ(x) равносильно системе

Слайд 10

Пример. Решить неравенство
lgx2 > lg(5x – 4)
Решение.
Ответ: (0,8;1)∪(4;∞).

Слайд 11

2) Если 0 < a < 1, то функция y =

logat
убывает на R+ и неравенство
logaf(x) > logaφ(x) равносильно системе

І І. Неравенство вида logaf(x) > logaφ(x) или logaf (x) < logaφ(x).

Слайд 12

Пример. Решить неравенство
log1/3(3x – 4) ≥ log1/3(x2 – 2)
Решение.
Ответ: [

2; ∞).

Слайд 13

Простейшие логарифмические неравенства.

Слайд 14

І І І) Неравенства, требующие предварительных
преобразований.
1) Находят ОДЗ неравенства.
2)

Преобразуют неравенство к виду І
или І І и решают полученное
неравенство, используя свойство
монотонности.

3) Находят пересечение множества
решений с ОДЗ неравенства и
записывают ответ.

Слайд 15

Пример. Решить неравенство
log 2(x – 1) + log 2x ≤ 1
Решение.

Ответ: ( 1; 2].

1) ОДЗ :

x > 1

x2 – x ≤ 2, (x + 1)(x – 2) ≤ 0

3) Пересечение множества решений с ОДЗ.

a = 2 > 1

Слайд 16

Отсюда имеем
lg x < 1;
lg x < lg10
т.

к. a = 10 > 1, x >0, то
0 < x < 10

III.Метод замены переменной в
логарифмическом неравенстве.

Пример. Решить неравенство

Решение.

Пусть lgx = t, t – любое число, тогда

неравенство примет вид

Нули числителя: 2(кратность четная)

Нули знам.:1(кратность нечетная)

Ответ:

Слайд 17

IV. Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма
Теорема 1. Если

а > 0, a ≠1, b> 0, c> 0,
1) неравенство logab > logac равносильно неравенству
(a -1)(b - c) > 0;
2) неравенство logab ≥ logac равносильно неравенству
(a -1)(b - c) ≥ 0;
3) неравенство logab < logac равносильно неравенству
(a -1)(b - c) < 0;
4) неравенство logab ≤ logac равносильно неравенству
(a -1)(b - c) ≤ 0;

Слайд 18

Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма
Замечание- соглашение.
Для упрощения

записей целесообразно ввести символ v ,
понимая, что там, где стоит этот символ, должен стоять один из знаков ≥, ≤,>либо<.
Тогда теорема 1 может быть сформулирована более коротко: при всех допустимых значениях a ,b и с неравенство logab v logac равносильно (a -1)(b - c) v 0.
Если в процессе решения смысл неравенства должен измениться, то пишется символ .

Слайд 19

Пример 1.
Решите неравенство
logx+7(2x2-6x+8)≤logx+7(x2+x-2).
Решение: logx+7(2x2-6x+8) ≤ logx+7(x2+x-2)
Так как D<0,то
-6
-7
-2
1
2
5
-6
-7
2
5
-6
Ответ:

Слайд 20

Следствие 2. При допустимых значениях a и b неравенство logab v

0 равносильно неравенству (a -1)(b - 1) v 0

Следствие 1. При допустимых значениях a ,b и c неравенство logab - logac v 0 равносильно неравенству (a -1)(b - c) v 0

Пример .

Решите неравенство
log10-х(x2-5x+6) - log10-х(2x-4)≥0.

Ответ:

Решение:

Слайд 21

Слайд 22

Теорема 2.
При допустимых значениях a ,b , c, d неравенство logab

logcd v 0 равносильно неравенству
(a -1)(b - 1)(c-1)(d-1) v 0

Ответ:

Решение:

Решите неравенство:

Слайд 23

При допустимых значениях a ,b , c неравенство logab - logcb

v 0 равносильно неравенству
(a -1)(b - 1)(c-1)(c-a) v 0.

Теорема 3.

Решите неравенство:

Решение:

Ответ:

Логарифмические неравенства

Содержание

Определение: Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.Например:

I. Типы простейших логарифмических неравенствилиназываются простейшими логарифмическими неравенствамиНеравенства видаилиНеравенства можно переписать

Решение логарифмических неравенств основано на свойстве монотонностифункции y = logat

Методы решения логарифмических неравенств. І) Неравенство вида logaf(x) > c

Пример. Решить неравенствоlog7(4x + 1) ≥ 2 Решение. log7(4x + 1)

2) Если 0 < a < 1, то функция y =

Пример. Решить неравенствоlog1/2(1 – x) > 2 Решение. log1/2(1 – x)

І І. Неравенство вида logaf(x) > logaφ(x) или logaf (x)

Пример. Решить неравенствоlgx2 > lg(5x – 4) Решение. Ответ: (0,8;1)∪(4;∞).

2) Если 0 < a < 1, то функция y =

Пример. Решить неравенствоlog1/3(3x – 4) ≥ log1/3(x2 – 2)Решение. Ответ: [

Простейшие логарифмические неравенства.

І І І) Неравенства, требующие предварительных преобразований.1) Находят ОДЗ неравенства.2)

Пример. Решить неравенствоlog 2(x – 1) + log 2x ≤ 1Решение.

Отсюда имеем lg x < 1; lg x < lg10т.

IV. Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифмаТеорема 1. Если

Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифмаЗамечание- соглашение. Для упрощения

Пример 1.Решите неравенствоlogx+7(2x2-6x+8)≤logx+7(x2+x-2).Решение: logx+7(2x2-6x+8) ≤ logx+7(x2+x-2) Так как D<0,то-6-7-2125-6-725-6Ответ:

Следствие 2. При допустимых значениях a и b неравенство logab v

Теорема 2.При допустимых значениях a ,b , c, d неравенство logab

При допустимых значениях a ,b , c неравенство logab - logcb

Похожие презентации

Определение:
Неравенства, содержащие переменную
под знаком логарифма, называются
логарифмическими.
Например:

I. Типы простейших логарифмических неравенств
или
называются простейшими
логарифмическими неравенствами
Неравенства вида
или
Неравенства можно переписать

Решение логарифмических неравенств основано на свойстве монотонности
функции y = logat

Методы решения логарифмических неравенств.
І) Неравенство вида logaf(x) > c

Пример. Решить неравенство
log7(4x + 1) ≥ 2
Решение.
log7(4x + 1)

Пример. Решить неравенство
log1/2(1 – x) > 2
Решение.
log1/2(1 – x)

І І. Неравенство вида logaf(x) > logaφ(x)
или logaf (x)

Пример. Решить неравенство
lgx2 > lg(5x – 4)
Решение.
Ответ: (0,8;1)∪(4;∞).

Пример. Решить неравенство
log1/3(3x – 4) ≥ log1/3(x2 – 2)
Решение.
Ответ: [

І І І) Неравенства, требующие предварительных
преобразований.
1) Находят ОДЗ неравенства.
2)

Пример. Решить неравенство
log 2(x – 1) + log 2x ≤ 1
Решение.

Отсюда имеем
lg x < 1;
lg x < lg10
т.

IV. Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма
Теорема 1. Если

Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма
Замечание- соглашение.
Для упрощения

Пример 1.
Решите неравенство
logx+7(2x2-6x+8)≤logx+7(x2+x-2).
Решение: logx+7(2x2-6x+8) ≤ logx+7(x2+x-2)
Так как D<0,то
-6
-7
-2
1
2
5
-6
-7
2
5
-6
Ответ:

Теорема 2.
При допустимых значениях a ,b , c, d неравенство logab