- Главная
- Математика
- Правдолюбцы и лжецы. Решение олимпиадных математических задач
Содержание
- 2. «Правдолюбцы и лжецы» Действие почти во всех задачах происходит на некотором острове, жителями которого являются правдолюбцы
- 3. Решение задач 1). Человек говорит: «Я лжец». Может ли он быть жителем острова рыцарей и лжецов?
- 4. Решение задач 3). На улице встретились два жителя острова. Один из них сказал: "По крайней мере,
- 5. Решение задач 4) Каждый из а) 7; б) 9 сидящих за круглым столом жителей острова сказал:
- 6. Решение задач 5) Какой вопрос нужно задать жителю острова, чтобы узнать, живёт ли у него дома
- 7. Решение задач 7). Знайка задумал несколько целых чисел и сообщил их Незнайке. В интервью газете "Жёлтый
- 8. Решение задач 8) Однажды Баба-Яга решила зайти в гости к Нафане и Кузе, однако во время
- 9. 9) Однажды Витя и Женя решили разыграть своих друзей. Они надели одинаковые плащи с капюшонами, таким
- 10. Решение задач 10). Предположим, что Вы находитесь на острове рыцарей и лжецов и набрели на двух
- 11. Решение задач 11). Трудно найти черную кошку в тёмной комнате. Однако трём жителям острова правдолюбцев, лжецов
- 12. Решение задач 12). Трое жителей острова: (А, В и С) разговаривали между собой в саду. Проходивший
- 14. Скачать презентацию
«Правдолюбцы и лжецы»
Действие почти во всех задачах происходит на некотором острове,
«Правдолюбцы и лжецы»
Действие почти во всех задачах происходит на некотором острове,
Решение задач
1). Человек говорит: «Я лжец». Может ли он быть жителем
Решение задач
1). Человек говорит: «Я лжец». Может ли он быть жителем
Решение. (Ответ: Не может.) Если бы он был рыцарем, то он бы сказал неправду, что он лжец, чего быть не может. Если же он был бы лжецом, то он сказал бы правду, что также невозможно.
2). Каждый из собравшихся на площади жителей острова заявил остальным: "Вы все лжецы". Сколько рыцарей среди них?
Решение. (Ответ: Один рыцарь.)Среди присутствующих на площади не может быть двух (или более) рыцарей, так как они называли бы друг друга лжецами. Один рыцарь быть может. Он всем остальным говорит, что они лжецы (это правда). А каждый из лжецов, говорит всем остальным, среди которых есть рыцарь, что они лжецы (это неправда). 0 рыцарей быть не может, так тогда все лжецы говорили бы правду.
Решение задач
3). На улице встретились два жителя острова. Один из них
Решение задач
3). На улице встретились два жителя острова. Один из них
Решение. (Ответ: Первый — рыцарь, второй — лжец.) Предположим, что первый — рыцарь. Тогда его утверждение верно (действительно хотя бы один рыцарь есть). Второй говорит, что первый лжец. При нашем предположении это неправда, значит, второй — лжец. Всё подходит, противоречий нет. Разберём другой случай, когда первый — лжец. Тогда его утверждение неверно, значит, и первый, и второй лжецы. Но тогда второй говорит правду, что первый лжец. Такого быть не может, получается противоречие. Значит, возможен только первый случай.
Решение задач
4) Каждый из а) 7; б) 9 сидящих за круглым
Решение задач
4) Каждый из а) 7; б) 9 сидящих за круглым
Решение: а) Во-первых, возможен случай, когда все лжецы. Предположим, что есть хотя бы один рыцарь. Тогда его соседи лжец и рыцарь: Л—Р—Р. Далее справа должен сидеть лжец, чтобы второй рыцарь говорил правду: Л—Р—Р—Л. Чтобы лжец говорил неправду, справа должен сидеть рыцарь: Л—Р—Р—Л—Р. Продолжая цепочку, получим: —Л—Р—Р—Л—Р—Р—Л—. Цепочка замыкается (то есть самый левый сидит рядом с самым правым). Получается, что крайние на схеме лжецы говорят правду, такого быть не может. б) Возможен случай, когда все лжецы. Если есть хотя бы один рыцарь, то проведём рассуждения, пункту а). Получим такое расположение: —Л—Р—Р—Л—Р—Р—Л—Р—Р—. Всё подходит.
Решение задач
5) Какой вопрос нужно задать жителю острова, чтобы узнать, живёт
Решение задач
5) Какой вопрос нужно задать жителю острова, чтобы узнать, живёт
Решение:
«Что ты ответишь, если у тебя спросят, живёт ли у тебя дома ручной крокодил?»
6) Некоторые жители острова заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным?
Решение: не может быть. Метод перебора
Решение задач
7). Знайка задумал несколько целых чисел и сообщил их Незнайке.
Решение задач
7). Знайка задумал несколько целых чисел и сообщил их Незнайке.
Решение: Чтобы сумма трёх чисел была равна нечётному числу 201, либо они все должны быть нечётными, либо одно из них должно быть нечётным, а два чётными. Но в первом случае их произведение должно быть тоже нечётным (а 30030 — чётное). А во втором, произведение должно делиться на 4, так как присутствуют два чётных множителя, но 30030 на 4 не делится.
Решение задач
8) Однажды Баба-Яга решила зайти в гости к Нафане и
Решение задач
8) Однажды Баба-Яга решила зайти в гости к Нафане и
Помогите Бабе-Яге понять, кто из друзей на самом деле Нафаня, а кто – Кузя. В ответ запишите число 1, если первый друг – Нафаня, либо число 2 в противном случае.
Ответ: 2
9) Однажды Витя и Женя решили разыграть своих друзей. Они надели
9) Однажды Витя и Женя решили разыграть своих друзей. Они надели
Ответ. 1
Решение задач
10). Предположим, что Вы находитесь на острове рыцарей и лжецов
Решение задач
10). Предположим, что Вы находитесь на острове рыцарей и лжецов
Должны ли оба ответа быть одинаковыми?
Решение задач
11). Трудно найти черную кошку в тёмной комнате. Однако трём
Решение задач
11). Трудно найти черную кошку в тёмной комнате. Однако трём
После этого каждый из них сделал по три следующих высказывания.
I: Я лжец. Комната темная. Кошка в комнате.
II: Я хитрец. Комната светлая. Кошка в комнате.
III: Я правдолюбец. Комната темная. Кошки в комнате нет.
Так была ли кошка в комнате во время эксперимента? Обоснуйте.
За время эксперимента освещение в комнате не менялось, кошка в комнату не забегала и не выбегала из неё.
Решение задач
12). Трое жителей острова: (А, В и С) разговаривали между
Решение задач
12). Трое жителей острова: (А, В и С) разговаривали между
Решение: (Ответ: В - лжец, а С - рыцарь. (Установить, кем был А, не представляется возможным.)) Ни рыцарь, ни лжец не могут сказать: "Я лжец" (высказав подобное утверждение, рыцарь солгал бы, а лжец изрёк бы истину). Следовательно, А, кем бы он ни был, не мог сказать о себе, что он лжец. Поэтому В, утверждая, будто A назвал себя лжецом, заведомо лгал. Значит, В - лжец. А так как С сказал, что В лгал, когда тот действительно лгал, то С изрек истину. Следовательно, С - рыцарь.