Расширение множества натуральных чмсел

Задача расширения понятия числа
Положительные рациональные числа
Действительные числа

Задача расширения понятия числа

Большинство применений математики сводится к двум основным задачам:
-

4 куска ткани

Для решения первой задачи достаточно множества целых неотрицательных чисел:
N0 = {0,

18 см < d < 19 см

Для измерения величин натуральных чисел

Натуральные числа

Дробные числа

Иррациональные числа

Q

Взаимосвязи между числовыми множествами

R

Z

Q+

Расширение множества натуральных чисел

R+

R

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Понятие дроби
Понятие положительного рационального числа
Арифметические действия

Понятие дроби

Дан отрезок а, выберем единичный отрезок е.
При измерении длины отрезка

Длина отрезка а при единице длины е выражается обыкновенной дробью
Отрезки а

3. Единичный отрезок е и любая его часть не укладываются в

Рассмотрим отрезок а, выберем единичный отрезок е

Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при единице длины

Основное свойство дроби

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение

Сокращение дроби – это замена данной дроби другой, равной данной, но

Пример 1:

несократимая дробь, т. к.

D (5; 17) = 1, т.е. 5

Приведение дробей к общему знаменателю – это замена данных дробей равными

15 = 3 · 5, 35 = 5 · 7,

K(15,

Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной, если

Понятие положительного рационального числа

- Обыкновенная дробь, числитель, знаменатель
- Правильная дробь
- Неправильная дробь
- Сократимая дробь
-

Одному и тому же отрезку можно поставить в соответствие бесконечное множество

Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая

Арифметические действия над положительными рациональными числами

Сложение

Рассмотрим отрезки а, b и с,
е – единичный отрезок

mе1

Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями,

Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю, затем сложить

В общем виде правило сложения можно записать так:

Если D(n, q)

Теорема (о существовании и единственности суммы)
Сумма любых двух положительных рациональных чисел

Отношение «больше»

Пусть а, b ∈ Q+.
Определение. Число а больше числа b,

Практические приемы установления отношения «больше»

Теорема. (∀ а, b ∈ Q+) а ≠ b ⇒ а

Отношение «больше» обладает свойствами:

1) антисимметричности:

2) транзитивности:

(∀ а, b, с ∈

2) Ассоциативный закон сложения

(∀ а, b, с ∈ Q+)

5) (∀ а, b ∈ Q+) а + b ≠ а

Разностью положительных рациональных чисел а и b называется такое положительное рациональное

Теорема (о существовании и единственности разности)
Разность а – b положительных рациональных

Правила вычитания

1) правило вычитания числа из суммы

а > с ⇒

2) правило вычитания суммы из числа
а – (b + с) =

Умножение

Примеры: 1)

Теорема (о существовании и единственности произведения)
Произведение любых двух положительных рациональных чисел

2) Ассоциативный закон умножения

(∀ а, b, с ∈ Q+)

5) Сократимость умножения

(∀ а, b, с ∈ Q+) а · с

Деление

Частным положительных рациональных чисел а и b называется такое положительное

Теорема (о существовании и единственности частного)
Частное любых двух положительных рациональных чисел

2) правило деления числа на произведение
а : (b · с) =

5) а : 1 = а, а : а = 1

Термин «рациональное число» произошел от латинского слова r а t i

СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1. N ⊂ Q+

2. Множество Q+ не ограничено снизу, т.е. в нем нет наименьшего

5. Множество Q+ плотно, т.е. между любыми двумя различными числами а

Основные задачи на дроби

1.Нахождение дроби от числа

2.Нахождение числа по данному значению дроби

3.Нахождение отношения двух чисел

В классе 25 учеников. 10 учеников ходили в

Проценты

Чтобы проценты выразить дробью, нужно число процентов разделить на 100 и

Основные задачи на проценты

В классе 25 учеников. 40 % учащихся класса

10 учеников класса ходили в кино, что составляет 40 % всех

3.Нахождение процентного отношения двух чисел

В классе 25 учеников. 10 учеников ходили

Множество положительных рациональных чисел
как расширение множества натуральных чисел

Условия расширения:
1. N ⊂

3. Выполнимость в Q+ операции, не всегда осуществимой в N

Деление,

Упражнение
Решить уравнение, используя зависимость между компонентами и результатами действий:

Десятичные дроби

Примеры:

Утверждение: Если к десятичной дроби А,an-1 ... a0 приписать справа любое

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ

Сложение и вычитание

Умножение

Примеры: 1) 5,426·102 = 542,6

2) 5,42·103 = 5420

24,48 : 1,2 = 244,8 : 12 = 20,4

Примеры: 1)

ПЕРЕВОД ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ В ДЕСЯТИЧНЫЕ
И ДЕСЯТИЧНЫХ – В ОБЫКНОВЕННЫЕ

?

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить числитель на

Примеры: 1)

0,04375

- дробь нельзя превратить в конечную десятичную

0,75

260 = 22

Упражнения

БЕСКОНЕЧНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ

1,42857141… =
= 1,(42857141)

Пример 1

2,8181… =
= 2,(81)

Пример 2

4,4166… =
= 4,41(66)

Пример 3

Пример 4

0,25 = 0,250000…. = 0,25(0)

Дробь называется периодической, если начиная с

Если период следует сразу после запятой, то такую дробь называют чисто

Чисто периодическая бесконечная десятичная дробь, меньше единицы, равна такой обыкновенной дроби,

Смешанная периодическая дробь, меньше единицы, равна такой обыкновенной дроби, числитель которой