Спектр и резольвента. Нормированные пространства и л.н.о

КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Определение. Пусть , оператор А называется компактным, если всякое ограниченное

ПРИМЕРЫ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Конечно мерный оператор:
Оператор типа Вольтерра:
Тождественный оператор
X=Y=R; Ax=x ⟶ y=Ax;

Рассмотрим операторное уравнение II рода в банаховом пространстве Х
Регулярное значение называется

Если линейный оператор непрерывен, то его спектр непуст, ограничен и замкнут.
Если

ПРИМЕРЫ

Найти спектр, резольвенту, резольвентное множество л.н.о. А:
1.
2.
3.
4.

РЕШЕНИЕ

1)

РЕШЕНИЕ

5. X = Y= C[0, 1], (Ax)(t) = x′(t). Найти спектр

РЯД НЕЙМАНА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Теорема. (A∈N(X - б.п.) & ||A||<1) ⇒ (ряд

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

2. A∈N(X - б.п.) ⇒ спектр σ(A) ограничен: σ(А) ⊂ Bθ,⎟⎪A⎪⎢⊂

ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Разложить резольвенту в ряд Неймана:
1)
2)
3) X=Y=l2; Ax = {x1

РЕШЕНИЕ

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Исследовать методами функционального анализа данное уравнение, например, интегральное уравнение

ПРИМЕР.

Исследовать интегральное уравнение:
Введем обозначение: ?x – Kx=y→
1. Действие оператора K: X→X

2. Оценить норму ||K||:
3. Доказать компактность оп. К.

4. Решить уравнение ?x-Kx=y
(см. Слайд 8)
5. Решить уравнение с помощью резольвенты.

6. Разложить резольвенту в ряд Неймана при
|?|>||K||

7. Найти приближённое решение:

ПРИМЕР КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

4) Найти ядро, образ и норму оператора А