Теорема о трёх перпендикулярах

Август 10, 2022

Главная
Математика
Теорема о трёх перпендикулярах

Содержание

2. «Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы
3. Теоретический опрос 1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые? Ответ: перпендикулярные. 2. Верно
4. 4. Что можно сказать о двух (3-х, 4-х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости? Ответ: они параллельны.
5. Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведённому от лампочки к плоскости земли. Н а
6. А В С Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно к
7. Доказательство. 1. Откладываем на прямой а произвольные, но равные отрезки СD = СЕ; 2. Соединяем отрезками
8. Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее
9. Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные
10. Задача № 2 Дано: АВСD –квадрат. АК ⊥ (АВСD) Доказать: В Доказательство. АК ⊥ (АВСD) по
11. Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший. С Задача
12. Верно ли, что две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны. Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости,
14. Скачать презентацию

Слайд 2

«Есть истины, как страны,
наиболее удобный путь к
которым становится известным
лишь

после того, как мы
испробуем все пути.… На пути к
истине мы почти всегда
обречены совершать ошибки»
Дени Дидро.

Слайд 3

Теоретический опрос
1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?
Ответ: перпендикулярные.
2. Верно

ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой плоскости»
Ответ: да.
3. Продолжите предложение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она...»
Ответ: перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Слайд 4

4. Что можно сказать о двух (3-х, 4-х) прямых, перпендикулярных к

одной плоскости?
Ответ: они параллельны.
5. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, …
Ответ: параллельны.
6. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?
Ответ: как длина перпендикуляра, проведённого из точки к данной прямой.
7. Как называются отрезки:
АМ - ?; АН -?;
Точка М -?; Точка Н -?.
Ответ: АМ – наклонная, АН- перпендикуляр,
М- основание наклонной,
Н - основание перпендикуляра

Слайд 5

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведённому от лампочки

к плоскости земли.

Н а к л о н н а я

П
Е
Р
П
Е
Н
Д
И
К
У
Л
Я
Р

Проекция

Слайд 6

А
В
С
Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно

к ее проекции, перпендикулярна и к самой наклонной.

Дано:
АВ ⊥ α,
АС - наклонная к α,
ВС – проекция наклонной АС на α,
а ∈ α, а ⊥ ВС.
Доказать:
а ⊥ АС.

Слайд 7

Доказательство.
1. Откладываем на прямой а произвольные, но равные отрезки СD

= СЕ;
2. Соединяем отрезками точки А и В с точками D и Е.
Тогда имеем:
ВD = ВЕ как наклонные к прямой DЕ с равными проекциями СD и СЕ.
АD = АЕ как наклонные к плоскости α , которые имеют равные проекции ВD и ВЕ.
Следовательно ∆ АDЕ – равнобедренный, значит его медиана АС ⊥ к основанию DЕ.

Слайд 8

Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней,

перпендикулярна и к ее проекции.

Дано:
АВ ⊥α,
АС -наклонная к α,
ВС –проекция наклонной АС на α,
а ∈ α, а ⊥ АС.
Доказать:
а ⊥ ВС.

Слайд 9

Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости,

проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»?

Ответ: Нет.

Задача № 1

Слайд 10

Задача № 2
Дано:
АВСD –квадрат.
АК ⊥ (АВСD)
Доказать:
В
Доказательство.
АК ⊥ (АВСD)

по условию, ВК – наклонная,
АВ – проекция КВ на плоскость (АВСD),
ВС ⊥ АВ ( как смежные стороны квадрата),
Тогда ВС ⊥ ВК ( по теореме о трех перпендикулярах).
Что и требовалось доказать.

Из вершины А квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что ВС перпендикулярно КВ.

Слайд 11

Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB < BC. Ребро SD

перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший.

Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший.

Задача № 3

Слайд 12

Верно ли, что две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны.
Может ли

прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости?
Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости?
Могут ли две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости?
Верно ли, что две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны?
Могут ли пересекаться две плоскости, параллельные к одной прямой ?
Верно ли, длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки?

Самостоятельное выполнение заданий

Теорема о трёх перпендикулярах

Содержание

«Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известнымлишь

Теоретический опрос 1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?Ответ: перпендикулярные.2. Верно

4. Что можно сказать о двух (3-х, 4-х) прямых, перпендикулярных к

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведённому от лампочки

АВСТеорема о трех перпендикулярах.Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно

Доказательство. 1. Откладываем на прямой а произвольные, но равные отрезки СD

Обратная теорема.Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней,