Кольца. Области целостности. Поля
Определение Кольцом называется непустое множество R вместе с бинарными операциями, называемыми умножением и сложением, которые обозначаются соответственно ⋅ и + , удовлетворяют условиям: Множество R замкнуто относительно сложения, если x ∈ R и y ∈ R, то x +y ∈ R. Сложение в R ассоциативно, x + (y + z) = (x + y) + z для всех x, y, z ∈ R. Множество R содержит аддитивную единицу (нейтральный элемент относительно сложения), так что х + 0 = 0 + х = х для всех х ∈ R. Для каждого элемента x из R множество R содержит элемент -х, обратный х относительно сложения, что x + (-x) = -x + x = 0. Сложение в R коммутативно, x + y = y + x для всех х и у ∈ R. Множество R замкнуто относительно умножения, если x ∈ R и y ∈ R, то x⋅y ∈ R. Определение 7. Умножение в R ассоциативно, x⋅(y⋅z) = (x⋅y)⋅z для всех x, y, z ∈ R. 8. Для всех x, y, z ∈ R выполняются законы дистрибутивности x⋅(y + z) = (x⋅y) + (x⋅z) и (y + z)⋅x = (y⋅x) + (z⋅x). Если во множестве R существует элемент 1 (мультипликативная единица, нейтральный элемент относительно умножения) такой, что 1⋅r = r⋅1 = r для всех r ∈ R, то множество R называется кольцом с единицей. Если r ⋅ r ′ = r ′ ⋅ r для всех r, r ′ ∈ R, то множество R называется коммутативным кольцом.
