Объём пирамиды. Геометрия, 11 класс.

Август 28, 2022

Главная
Геометрия
Объём пирамиды. Геометрия, 11 класс.

Содержание

2. Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO=H. A B C S O H O1 h
3. h H Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную сумму площадей
4. На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с равными площадями оснований и
5. A B C B1 A1 C1 C A1 B Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1. Разобьем её
6. A C B1 A1 C1 C A1 B B Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью
7. A C B1 A1 C1 C A1 B B A1 C1 B У треугольных пирамид A1ABC
8. A C B1 A1 C1 C A1 B B A1 C1 B Тогда, по свойству транзитивности,
9. h H h Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как функции, зависящей
10. Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму треугольных пирамид с общей вершиной и высотой, получим формулу
12. Скачать презентацию

Слайд 2

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO=H.
A
B
C
S
O
H
O1
h
Построим сечение пирамиды, параллельное

плоскости основания и находящееся на расстоянии h от её вершины.

Т.к. ΔABCA1B1C1, то по свойству площадей подобных фигур :

A1

C1

B1

h ∈[0; H ]

⇒

Т.к. h – изменяющаяся величина, то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h, где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

Слайд 3

h
H
Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как

бесконечную сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты.

h ∈[0; H ]

Слайд 4

На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды

с равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы.

H

Sосн.1= Sосн.2

V1 = V2

h

Sсеч.1= Sсеч.2

Слайд 5

A
B
C
B1
A1
C1
C
A1
B
Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1.
Разобьем её на две части секущей плоскостью

(A1BC).

Получились две пространственные фигуры: треугольная пирамида A1ABC и четырехугольная пирамида A1BCC1B1 (обе пирамиды с вершиной A1).

Слайд 6

A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью (A1C1B) на две треугольные

пирамиды: A1BB1C1 и A1BCC1 (обе пирамиды с вершиной A1).

A1

C1

B

Слайд 7

A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как противоположные основания

призмы) и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны.

У треугольных пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A1. Значит, их объемы также равны.

Слайд 8

A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны:
Значит, объем пирамиды

в три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.

Слайд 9

h
H
h
Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как

функции, зависящей от расстояния h:

h ∈[0; H ]

0

Слайд 10

Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму треугольных пирамид с общей

вершиной и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды:

S

A3

An

A2

A1

H