Численные методы. Метод половинного деления (метод дихотомии)

Август 3, 2022

Главная
Математика
Численные методы. Метод половинного деления (метод дихотомии)

Содержание

2. Цель лекции Изучить один из методов решения нелинейных уравнений – метод половинного деления; Рассмотреть пример решения
3. Метод половинного деления один из методов решения нелинейных уравнений. Основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный
4. Пусть задан отрезок [а;b], содержащий один корень уравнения. Предварительно необходимо определить области локализации корней данного уравнения
5. Алгоритм метода: Разобьем отрезок [а,b] пополам. Определим новое приближение корня х в середине отрезка [а,b]: х=(а+b)/2.
6. В этом случае необходимо точку b переместить в точку х (b = х). Если условие не
7. Рассмотрим пример Методом проб (половинного деления) решим уравнение – х² - 1 = 0, т.е. найдем
8. Решение 1. Найдем графически интервалы изоляции действительных корней данного уравнения – х² - 1 = 0.
9. 4. Найдем значении функции на концах промежутка и определим ее знак. f(1) = - 1² -
10. 5. Разделим отрезок [1;2] пополам, для этого воспользуемся формулой С1 = (а + b)/2. С1 =
11. 7. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом промежутке, то за новый более узкий промежуток
12. 10. Т.к. значение противоположного знака функция принимает на левом промежутке, то за новый промежуток возьмем [1;
13. 13. Найдем погрешность приближения │х3 – х2 =│1,125 – 1,25│ = │-0,125│ = 0,125 > ε,
14. 16. Найдем значение функции в точке С4: f(С4 ) = f(1,188) = – 1,188² - 1
15. 19. Найдем значение С5: где С5 = (С1 + С4 )/2 = (1,188 + 1,25)/2 =
16. 22. Найдем значение С6: С6 = (1,188 + 1,219)/2 = 1,2035. 23. Найдем погрешность приближения: │1,2035
17. 25. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка, то за новый более узкий
18. 28. Найдем значение функции в точке С7: f(1,2112) = – 1,2112² - 1 = 2,6066 –
19. 31. Найдем значение С8: C8 = (1,2112 + 1,2035)/2 = 1,2074. 32. Найдем погрешность приближения: │1,2074
20. 34. Новый промежуток изоляции будет [1,2035; 1,2074]. 35. Найдем значение С9: С9 = (1,2035 + 1,2074)/2
21. 38. Найдем С10: С10 = (1,2035 + 1,2054)/2 = 1,2044. 39. Найдем погрешность приближенного вычисления: │х10
22. Результаты измерений занесем в таблицу.
24. Скачать презентацию

Слайд 2

Цель лекции
Изучить один из методов решения нелинейных уравнений – метод половинного

деления;
Рассмотреть пример решения нелинейного уравнения.

Слайд 3

Метод половинного деления один из методов решения нелинейных уравнений.
Основан на

последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность ɛ

Слайд 4

Пусть задан отрезок [а;b], содержащий один корень уравнения.
Предварительно необходимо определить

области локализации корней данного уравнения (см. предыдущую лекцию).
Если на отрезке [а;b] содержится более одного корня, то метод не работает.

Слайд 5

Алгоритм метода:
Разобьем отрезок [а,b] пополам.
Определим новое приближение корня х в

середине отрезка [а,b]: х=(а+b)/2. Найдем значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).
Проверим условие F(a)*F(x) < 0. Если условие выполнено, то корень расположен на отрезке [а,х].

Слайд 6

В этом случае необходимо точку b переместить в точку х (b

= х).
Если условие не выполнено, то корень расположен на отрезке [х;b].
В этом случае необходимо точку а переместить в точку х (а = х).
Перейдем к пункту 1 и вновь поделим отрезок пополам.
Алгоритм выполнять до тех пор, пока не будет выполнено условие /F(x)/ < ɛ.

Слайд 7

Рассмотрим пример
Методом проб (половинного деления) решим уравнение – х² - 1

= 0, т.е. найдем приближенное значение действительного корня с точностью до 0,001 .

Слайд 8

Решение
1. Найдем графически интервалы изоляции действительных корней данного уравнения – х²

- 1 = 0.
2. Представим данное уравнение в виде f1 (x) = f2 (x), = x² + 1.
3. Построим графики функций y = f1 (x), y = f2 (x) и определим промежуток, которому принадлежит корень: [1;2].

Слайд 9

4. Найдем значении функции на концах промежутка и определим ее знак.
f(1)

= - 1² - 1 = -1 < 0
f(2) = - 2² - 1 = 27 > 0
Т.к. значения функции на концах промежутка разных знаков, то корень заключен внутри отрезка [1;2], который является промежутком изоляции.

Слайд 10

5. Разделим отрезок [1;2] пополам, для этого воспользуемся формулой
С1 =

(а + b)/2.
С1 = (1 + 2)/ 2 = 1,57.
6. Найдем значение функции в точке
С1 = 1,5
f(1,5) = – 1,5² - 1 = 7,5938 – 2,25 – 1 = 4,3437 > 0

Слайд 11

7. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом промежутке, то

за новый более узкий промежуток возьмем [1; 1,5].
8. Найдем С2 = (С1 + а)/2;
С2 = (1 + 1,5) /2 = 2,5/2 = 1,25.
9.Найдем значение функции в точке С2
f(1,25) = – 1,25² - 1 = 3,0518 – 1,5625 – 1 = 0,4893 > 0.

Слайд 12

10. Т.к. значение противоположного знака функция принимает на левом промежутке, то

за новый промежуток возьмем [1; 1,25].
11. Найдем С3:
С3 = (а + С2 )/2;
С3 = (1 + 1,25)/2 = 1,125
12. Найдем значение в точке С3:
f(1,125) = – 1,125² - 1 =
1,8020 – 1,2656 – 1 = -0,4636

Слайд 13

13. Найдем погрешность приближения
│х3 – х2 =│1,125 – 1,25│ =

│-0,125│ = 0,125 > ε, где ε = 0,001.
Продолжим дальше вычисления.
14. Т.к. противоположный знак находится в правом конце изоляции, то за новый более узкий промежуток возьмем [1,125; 1,25].
15. Найдем значение С4 :
С4 = (С2 + С3 )/2.
С4 = (1,125 + 1,25)/2 = 1,188

Слайд 14

16. Найдем значение функции в точке С4:
f(С4 ) = f(1,188) =

– 1,188² - 1 =
2,3664 – 1,4113 – 1 = -0,449
17. Найдем погрешность приближения
│х4 – х3 │= │1,188 – 1,125│ = 0,063 > ε,
где ε = 0,001.
18. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в правом промежутке, то за новый более узкий промежуток возьмем отрезок [1,188; 1,25].

Слайд 15

19. Найдем значение С5:
где С5 = (С1 + С4 )/2

= (1,188 + 1,25)/2 = 1,219.
20. Найдем значение функции в точке С5:
f(1,219) = – 1,219² - 1 =
2,6916 – 1,4860 – 1 = 0,2056.
21. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка, то за новый более узкий промежуток возьмем отрезок [1,188; 1,219].

Слайд 16

22. Найдем значение С6:
С6 = (1,188 + 1,219)/2 = 1,2035.
23.

Найдем погрешность приближения:
│1,2035 – 1,219│ = 0,0155 > ε.
24. Найдем значение С5 :
f(1,2035) = – 1,2035² - 1 = 2,5248 – 1,4484 – 1 = 0,076

Слайд 17

25. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка,

то за новый более узкий промежуток возьмем отрезок
[1,2035; 1,219].
26. Найдем значение С7:
С7 = (1,203 + 1,219)/2 = 1,2112.
27. Найдем погрешность приближения:
│1,2112 – 1,2035│ = 0,0077 > ε,
где ε = 0,001.

Слайд 18

28. Найдем значение функции в точке С7:
f(1,2112) = – 1,2112² -

1 =
2,6066 – 1,4670 – 1 = 0,1396 > 0
29. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка, то за новый более узкий промежуток возьмем [1,2035; 1,2112].
30. Найдем погрешность приближения:
│1,2112 – 1,2035│ = 0,007 > ε

Слайд 19

31. Найдем значение С8:
C8 = (1,2112 + 1,2035)/2 = 1,2074.
32. Найдем

погрешность приближения:
│1,2074 – 1,2035 │ = 0,003 > ε
33. Найдем значение функции в точке С8:
f(1,2074) = - 1,2075² - 1 =
2,5660 – 1,4578 – 1 = 1,1082 > 0

Слайд 20

34. Новый промежуток изоляции будет [1,2035; 1,2074].
35. Найдем значение С9:
С9 =

(1,2035 + 1,2074)/2 = 1,2054
36. Найдем f(C9 ):
f(C9 ) = – 1,2054² - 1 =
2,5448 – 1,4530 – 1 = 0,0918>0
37. Новый промежуток изоляции [1,2035; 1,2054].

Слайд 21

38. Найдем С10:
С10 = (1,2035 + 1,2054)/2 = 1,2044.
39. Найдем погрешность

приближенного вычисления:
│х10 – х9 │= │1,2044 – 1,2054│ = 0,001 = ε.
Следовательно искомый корень, найденный методом проб равен х ≈ 1,204
с точностью до 0,001.

Слайд 22

Численные методы. Метод половинного деления (метод дихотомии)

Содержание

Цель лекцииИзучить один из методов решения нелинейных уравнений – метод половинного

Метод половинного деления один из методов решения нелинейных уравнений. Основан на

Пусть задан отрезок [а;b], содержащий один корень уравнения. Предварительно необходимо определить

Алгоритм метода:Разобьем отрезок [а,b] пополам. Определим новое приближение корня х в

В этом случае необходимо точку b переместить в точку х (b

Рассмотрим примерМетодом проб (половинного деления) решим уравнение – х² - 1

Решение1. Найдем графически интервалы изоляции действительных корней данного уравнения – х²

4. Найдем значении функции на концах промежутка и определим ее знак.f(1)

5. Разделим отрезок [1;2] пополам, для этого воспользуемся формулой С1 =

7. Т.к. значение противоположного знака функция принимает в левом промежутке, то

10. Т.к. значение противоположного знака функция принимает на левом промежутке, то

13. Найдем погрешность приближения │х3 – х2 =│1,125 – 1,25│ =

16. Найдем значение функции в точке С4:f(С4 ) = f(1,188) =

19. Найдем значение С5: где С5 = (С1 + С4 )/2

22. Найдем значение С6: С6 = (1,188 + 1,219)/2 = 1,2035.23.