Дифференциальные уравнения. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Однородные Д.У. с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение
где -

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение.
Алгебраическое уравнение
соответствующее данному ЛОДУ,
называется характеристическим уравнением.
Обратное утверждение:
Пусть

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
1.
Замена:
Характеристическое уравнение:
- частные решения ЛОДУ.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
2.
Замена:
Характеристическое уравнение:
- частные решения ЛОДУ.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Свойства решений ЛОДУ.
1. Линейность.
- решения ЛОДУ
-

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Свойства решений ЛОДУ.
1. Линейность.
- решения ЛОДУ
-

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Критерий линейной независимости системы решений ЛОДУ.
Пусть
-

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение ФСР.
Фундаментальной системой решений (ФСР)
ЛОДУ - порядка

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение ФСР.
Фундаментальной системой решений (ФСР)
ЛОДУ - порядка

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Теорема о структуре общего решения ЛОДУ.
Пусть при

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

ФСР в случае различных действительных корней.

Доказательство (при

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Случай кратных действительных корней.
Пусть действительное число -

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Случай кратных действительных корней.
Пусть действительное число -

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

ФСР в случае, когда некоторые корни комплексные.
1.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Преобразуем функции
с помощью формулы Эйлера:
Функции
являются действительными функциями

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
1. Найти ФСР уравнения
Шаг 1. Запишем характеристическое

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
2. Найти ФСР уравнения
Шаг 1. Запишем характеристическое

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Случай кратных комплексных корней.
Пусть комплексное число
корень

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Свойства решений ЛНДУ.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Свойства решений ЛНДУ.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Принцип суперпозиции.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Принцип суперпозиции.

Доказательство.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ.
1. -

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Примеры.
1. Найти общее решение уравнения
Шаг 1. Решим

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2. Найти общее решение ЛНДУ
Шаг 1.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Пример 3. Найти общее решение ЛНДУ
Шаг 1.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Пример 4. Найти общее решение ЛНДУ
Шаг 1.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные Д.У.
Метод вариации произвольных постоянных (метод

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Частный случай.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
Пусть

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Пример.
Решение.
1. ЛОДУ ФСР
2. Общее решение ЛОДУ
3. Частное

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Уравнение колебаний.
Задача. Материальная точка массы m движется

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение:
ФСР:
Общее решение:
Задача Коши.

Свободные колебания с амплитудой