Основы линейной алгебры

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Основы линейной алгебры

Содержание

2. Матрица Матрицей размера mхn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в
3. где i- номер строки, а j- номер столбца. А=
4. Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк то матрица называется квадратной. =Е
5. Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. симметрическая матрица Квадратная матрица вида называется
6. Сложение и вычитание матриц Сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций
7. Операция умножения матриц Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: Из
8. Транспонированная матрица Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если
9. Определители Определителем матрицы А размерностью mxn называется число вычисляемое по формуле: det A =
10. М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует
11. Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой
12. Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме
13. Элементарные преобразования матрицы Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки на число, отличное от
14. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию: XA = AX = E,
15. Минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких
16. Ранг матрицы Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А. Очень важным свойством
17. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.
18. Матричный метод решения систем линейных уравнений Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений
19. a11 a12……a1n b1 X1 A= ……………… B= … X = … an1 an2……ann bn Xn A×X
20. Метод Крамера Если определитель матрицы системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю, то система имеет решение
21. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: a11x1+a12x2+….+a1nxn=b1 a21x2+a22x2+….+a2nxn=b2 ........................................... am1x1+am2x2+….+amnxn=bm
22. Совместные, определенные и однородная системы Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется
23. Определение. Для системы линейных уравнений матрица a11 a12 ….a1n a21 a22 . a2n am1 am2 …amn
24. Теорема Кронекера – Капелли Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда,
26. Скачать презентацию

Слайд 2

Матрица
Матрицей размера mхn, где m- число строк, n- число столбцов, называется

таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij,

Слайд 3

где i- номер строки, а j- номер столбца.
А=

Слайд 4

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк то матрица называется

квадратной.
=Е

Слайд 5

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.
симметрическая

матрица
Квадратная матрица вида
называется диагональной матрицей.

Слайд 6

Сложение и вычитание матриц
Сводится к соответствующим операциям над их элементами.

Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера.

Слайд 7

Операция умножения матриц
Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены

по следующим формулам:
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Слайд 8

Транспонированная матрица
Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А

к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

Слайд 9

Определители
Определителем матрицы А размерностью mxn называется число вычисляемое по формуле:
det A

Слайд 10

М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и

k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

Слайд 11

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы,

полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Слайд 12

Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на

(-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.
В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Слайд 13

Элементарные преобразования матрицы
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
1) умножение строки на

число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование;
Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

Слайд 14

Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

Слайд 15

Минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной

матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.
В матрице порядка mхn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Слайд 16

Ранг матрицы
Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg

А.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Слайд 17

Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Слайд 18

Матричный метод решения систем линейных уравнений
Матричный метод применим к решению систем

уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
a11x1+a12x2+….+a1nxn=b1
a21x2+a22x2+….+a2nxn=b2
...........................................
an1x1+an2x2+….+annxn=bn

Слайд 19

a11 a12……a1n b1 X1
A= ……………… B= … X = …

an1 an2……ann bn Xn
A×X = B.
Х = А-1×В

Слайд 20

Метод Крамера
Если определитель матрицы системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю,

то система имеет решение и оно находится по формулам:
Xi = Δi/ Δ, где
Δ=det A, а Δi – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы, путем замены столбца I столбцом свободных членов bi.

Слайд 21

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим

образом:
a11x1+a12x2+….+a1nxn=b1
a21x2+a22x2+….+a2nxn=b2
...........................................
am1x1+am2x2+….+amnxn=bm

Слайд 22

Совместные, определенные и однородная системы
Определение. Если система имеет хотя бы одно

решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Слайд 23

Определение. Для системы линейных уравнений матрица
a11 a12 ….a1n
a21 a22

. a2n
am1 am2 …amn называется матрицей системы,
a11 a12 …a1n b1
a21 a22 …a2n b2
.........................
am1 am2 amn bm расширенной

Слайд 24

Теорема Кронекера – Капелли
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение)

тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.

Основы линейной алгебры

Содержание

МатрицаМатрицей размера mхn, где m- число строк, n- число столбцов, называется

где i- номер строки, а j- номер столбца. А=

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк то матрица называется

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. симметрическая

Сложение и вычитание матриц Сводится к соответствующим операциям над их элементами.

Операция умножения матриц Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены

Транспонированная матрица Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А

ОпределителиОпределителем матрицы А размерностью mxn называется число вычисляемое по формуле:det A