Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Лекция 2.2

Август 19, 2022

Главная
Математика
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Лекция 2.2

Содержание

2. Аксиомы группы С Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не
3. Аксиомы группы С Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей
4. Аксиомы группы С Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость,
5. Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. α
6. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости α А В Следствия из
7. Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну α
8. Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна. к Следствие из Т1
9. Вывод в пространстве можно однозначно задать плоскость … 1. По трем точкам 2. По прямой и
10. Нет Да Нет Да Нет Да Определите: верно, ли утверждение?
11. Взаимное расположение Прямых и Плоскостей в пространстве Взаимное расположение Прямых в пространстве Взаимное расположение Плоскостей в
12. 1. Параллельные Прямые Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо
13. 1. Параллельные Прямые 2) Признаки Параллельности: I. Две прямые, параллельные третьей - параллельны. II. Если внутренние
14. 2. Пересекающиеся прямые Две прямые называются пересекающимися если они имеют общую точку.
15. 3. Скрещивающиеся прямые Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту
16. Признак скрещивающихся прямых Угол между скрещивающимися прямыми
17. пересекаются параллельны а а а b b b скрещиваются Лежат в одной плоскости Не лежат в
18. Взаимное расположение Плоскостей в пространстве 1) Параллельные плоскости 2) Пересекающиеся плоскости
19. 1. Параллельные плоскости Плоскости, не имеющие общих точек, называются Параллельными
21. 2. Пересекающиеся плоскости Плоскости называются пересекающимися, если они имеют общие точки
23. Взаимное расположение Прямых и Плоскостей в пространстве 1. Параллельность плоскости и прямой 2. Пересечение плоскости и
24. 1. Параллельность плоскости и прямой Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются и не
25. Параллельность прямой и плоскости Важное следствие
26. 2. Пересечение плоскости и прямой Плоскость и прямая называются пересекающимися, если они имеют общую точку пересечения
27. 3. Перпендикулярность Плоскости и прямой Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой
28. Расположение плоскостей в пространстве. α ∩ β α и β совпадают α ⎜⎜ β
29. Ответьте на вопросы: Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Верно ли, что если
30. Задание 1 Вставьте пропущенные слова Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они на
31. Задание 2 Определите: верно, ли утверждение? Нет Нет Да Да Нет
32. Признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой
33. Теорема Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную. β а1 •
34. Определите: верно, ли утверждение? 1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны. 2. плоскости параллельны, если
35. A B C D A1 B1 C1 D1 M N P Q T O Параллелепипед ABCDA1B1C1D1
36. A B C D N K M Сечение проходит через точку M, лежащую на ребре DA,
37. Найти: площадь сечения, тетраэдра с ребром равным 3 см, если точка М – середина ребра ДА.
38. A B1 A1 P C B D D1 M N K C1
39. A B1 A1 P C B D D1 M N K C1
40. A B1 A1 P C B D D1 M N K C1
41. β • А α Докажем единственность плоскости β методом от противного. • С • В в
42. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Свойство параллельных плоскостей. Дано: α
43. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Свойство параллельных плоскостей. Доказать: АВ = СD Дано:
44. Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не проходящей через точку. α β
46. Скачать презентацию

Слайд 2

Аксиомы группы С
Какова бы ни была плоскость,
существуют точки,
принадлежащие

этой плоскости,
и точки, не принадлежащие ей

Слайд 3

Аксиомы группы С
Если две различные плоскости
имеют общую точку,
то

они пересекаются по прямой,
проходящей через эту точку.

Слайд 4

Аксиомы группы С
Если две различные прямые
имеют общую точку,
то

через них можно провести плоскость,
и притом только одну.

Слайд 5

Через любую прямую
и не принадлежащую ей точку
можно провести плоскость,

и притом только одну.

Следствия из аксиом

Т1

Слайд 6

Если две точки прямой
принадлежат плоскости,
то вся прямая принадлежит плоскости

Следствия из аксиом

Слайд 7

Через 3 точки,
не лежащие на одной прямой,
можно провести плоскость,

и притом только одну

Следствия из аксиом

Слайд 8

Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые
проходит плоскость,
и притом только одна.
к
Следствие

из Т1

Слайд 9

Вывод
в пространстве можно однозначно задать плоскость …
1. По трем точкам
2. По

прямой и не принадлежащей ей точке.

3. По двум пересекающимся прямым.

4. По двум параллельным прямым.

Слайд 10

Нет
Да
Нет
Да
Нет
Да
Определите: верно, ли утверждение?

Слайд 11

Взаимное расположение Прямых и Плоскостей в пространстве
Взаимное расположение Прямых в пространстве
Взаимное

расположение Плоскостей в пространстве
Взаимное расположение Прямых и Плоскостей в пространстве

Слайд 12

1. Параллельные Прямые
Параллельными прямыми называются прямые,
которые лежат в одной плоскости

и либо совпадают,
либо не пересекаются.

Слайд 13

1. Параллельные Прямые
2) Признаки Параллельности:
I. Две прямые, параллельные третьей -

параллельны.
II. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны
III. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
IV. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Слайд 14

2. Пересекающиеся прямые
Две прямые называются пересекающимися
если они имеют
общую точку.

Слайд 15

3. Скрещивающиеся прямые
Прямые называются скрещивающимися,
если одна из прямых лежит в

плоскости, а другая эту плоскость пересекает
в точке не принадлежащей первой прямой

Слайд 16

Признак
скрещивающихся
прямых
Угол между
скрещивающимися
прямыми

Слайд 17

пересекаются
параллельны
а
а
а
b
b
b
скрещиваются
Лежат в одной плоскости
Не лежат в одной плоскости
Взаимное расположение прямых в

пространстве

Слайд 18

Взаимное расположение Плоскостей в пространстве
1) Параллельные плоскости
2) Пересекающиеся плоскости

Слайд 19

1. Параллельные плоскости
Плоскости,
не имеющие общих точек, называются Параллельными

Слайд 20

Слайд 21

2. Пересекающиеся плоскости
Плоскости называются пересекающимися,
если они имеют общие точки

Слайд 22

Слайд 23

Взаимное расположение Прямых и Плоскостей в пространстве
1. Параллельность плоскости и прямой
2.

Пересечение плоскости и прямой
3. Перпендикулярность плоскости и прямой

Слайд 24

1. Параллельность плоскости и прямой
Прямая и плоскость называются параллельными, если они

не пересекаются и не имеют общих точек

Слайд 25

Параллельность
прямой и плоскости
Важное следствие

Слайд 26

2. Пересечение плоскости и прямой
Плоскость и прямая называются пересекающимися,
если они

имеют общую точку пересечения

Слайд 27

3. Перпендикулярность Плоскости и прямой
Прямая, пересекающая плоскость,
называется перпендикулярной этой плоскости,

если она перпендикулярна каждой прямой,
которая лежит в данной плоскости
и проходит через точку пересечения.

Слайд 28

Расположение плоскостей в пространстве.
α ∩ β
α и β совпадают
α ⎜⎜

Слайд 29

Ответьте на вопросы:
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно

ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости α и β параллельны, прямая т лежит в плоскости α. Верно ли, что прямая т параллельна плоскости β?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

Да

Нет

Да

Нет

Слайд 30

Задание 1 Вставьте пропущенные слова
Единственную плоскость можно задать через три

точки, при этом они на одной прямой.
2) Если точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
4) Прямые являются в пространстве, если они не пересекаются и в одной плоскости.
5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
В

α, то прямые а и b

не лежат

две

прямую

параллельными

лежат

скрещивающиеся

Слайд 31

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?
Нет
Нет
Да
Да
Нет

Слайд 32

Признак параллельности двух плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны

двум
пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.

Дано: а∩ b = M, a∈ α, b∈ α.
a₁∩ b₁, a₁∈ β, b₁∈ β. a || a₁, b || b₁.

Доказать:α || β

а₁

b₁

Доказательство:

Тогда а || β, а ⊂ α, α ∩ β = с, значит а || с.
2. b || β, b ⊂ α, α ∩ β = с, значит b || с.
3. Имеем, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего быть на может.
Значит α || β .

1. Пусть α ∩ β = с.

Слайд 33

Теорема
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём

единственную.

а1

•

плоскость α,

в1

Доказать:

Доказательство.

Дано:

точка А вне плоскости α.

существует плоскость β║α, проходящая через точку А

1. В плоскости α проведём прямые а∩в.

Через точку А проведём

а1║а

и в1║в.

По признаку параллельности плоскостей прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.

Существование плоскости β доказано.

Слайд 34

Определите: верно, ли утверждение?
1. если плоскости не пересекаются, то они

параллельны.
2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в
одной плоскости, параллельна другой плоскости?
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости,
то эти плоскости параллельны?
4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она
перпендикулярна и другой плоскости.
5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то
она пересекает и другую.
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
8. Отрезки прямых, заключенные между
параллельными плоскостями, равны.

ДА

НЕТ

ДА

НЕТ

ДА

НЕТ

ДА

Слайд 35

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
P
Q
T
O
Параллелепипед ABCDA1B1C1D1
Сечение проходит через точки M, N и P, лежащие на

рёбрах BC, AD и AA1 соответственно.

№6

Слайд 36

A
B
C
D
N
K
M
Сечение проходит через точку M, лежащую на ребре DA, параллельно грани

ABC.

Тетраэдр DABC

№2

Слайд 37

Найти: площадь сечения, тетраэдра с ребром равным 3 см, если точка

М – середина ребра ДА.

Слайд 38

A
B1
A1
P
C
B
D
D1
M
N
K
C1

Слайд 39

A
B1
A1
P
C
B
D
D1
M
N
K
C1

Слайд 40

A
B1
A1
P
C
B
D
D1
M
N
K
C1

Слайд 41

β
•
А
α
Докажем единственность плоскости β методом от противного.
•
С
•
В
в
с
β1
γ
Допустим, что существует плоскость

β1, которая проходит через т. А и β1 ⎜⎜ α.

Отметим в плоскости β1 т. С∉ β.

Отметим произвольную т. В ∈ α.

Через точки А, В и С проведем γ.

γ ∩ α = в,

γ ∩ β1 = с.

γ ∩ β = а,

а и с не пересекают плоскость α,

значит они не пересекают прямую в,

⇒ а ⎜⎜ в и с ⎜⎜ в

Получили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может.

⇒ наше предположение ложное.

Единственность β доказана.

Слайд 42

Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Свойство параллельных плоскостей.

Дано:
α ⎜⎜ β, α ∩ γ = a
β ∩ γ = b

Доказать: a ⎜⎜ b

Доказательство:

1. a ⊂ γ, b ⊂ γ

2. Пусть a ⎜⎜ b,

тогда a ∩ b = М

3. M ∈ α, M ∈ β

⇒ α ∩ β = с (А2)

Получили противоречие с условием.

Значит a ⎜⎜ b ч. т.д.

Слайд 43

Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными
плоскостями, равны.
Свойство параллельных плоскостей.
Доказать: АВ

= СD

Дано:
α ⎜⎜ β, АВ ⎜⎜СD
АВ ∩ α = А, АВ ∩ β = В,
СD ∩ α = С, СD ∩ β = D

Доказательство:

1. Через АВ ⎜⎜СD проведем γ

2. α ⎜⎜β, α ∩ γ = a, β ∩ γ = b

3. ⇒ АС ⎜⎜В D,

4. АВ ⎜⎜СD (как отрезки парал. прямых)

5. ⇒ АВСД – параллелограмм (по опр.)

⇒ АВ = СD ( по свойству параллелограмма)

Слайд 44

Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α,

не проходящей через точку.

Решение.

1. В плоскости α возьмем т. В.

2. Проведем прямые ВС и ВD.

•

С1

3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВD, в ней проведем прямую АD1⎜⎜ ВD.

4. Аналогично построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВС, в ней проведем прямую АС1⎜⎜ ВС.

•

5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость β

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Лекция 2.2

Содержание

Аксиомы группы СКакова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие

Аксиомы группы СЕсли две различные плоскости имеют общую точку, то

Аксиомы группы СЕсли две различные прямые имеют общую точку, то

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость,

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости

Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость,

Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна. кСледствие

Выводв пространстве можно однозначно задать плоскость …1. По трем точкам2. По

НетДаНетДаНетДаОпределите: верно, ли утверждение?

Взаимное расположение Прямых и Плоскостей в пространствеВзаимное расположение Прямых в пространствеВзаимное

1. Параллельные ПрямыеПараллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости

1. Параллельные Прямые2) Признаки Параллельности: I. Две прямые, параллельные третьей -

2. Пересекающиеся прямыеДве прямые называются пересекающимися если они имеют общую точку.

3. Скрещивающиеся прямыеПрямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в

Признак скрещивающихся прямыхУгол междускрещивающимися прямыми

пересекаютсяпараллельныаааbbbскрещиваютсяЛежат в одной плоскостиНе лежат в одной плоскостиВзаимное расположение прямых в

Взаимное расположение Плоскостей в пространстве 1) Параллельные плоскости2) Пересекающиеся плоскости

1. Параллельные плоскостиПлоскости, не имеющие общих точек, называются Параллельными

2. Пересекающиеся плоскостиПлоскости называются пересекающимися, если они имеют общие точки

Взаимное расположение Прямых и Плоскостей в пространстве1. Параллельность плоскости и прямой2.

1. Параллельность плоскости и прямойПрямая и плоскость называются параллельными, если они

Параллельностьпрямой и плоскостиВажное следствие

2. Пересечение плоскости и прямойПлоскость и прямая называются пересекающимися, если они

3. Перпендикулярность Плоскости и прямойПрямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости,

Расположение плоскостей в пространстве.α ∩ β α и β совпадаютα ⎜⎜

Ответьте на вопросы:Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?Верно

Задание 1 Вставьте пропущенные слова Единственную плоскость можно задать через три

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение? НетНетДаДаНет

Признак параллельности двух плоскостей.Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны

ТеоремаЧерез точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём

Определите: верно, ли утверждение? 1. если плоскости не пересекаются, то они

ABCDA1B1C1D1MNPQTOПараллелепипед ABCDA1B1C1D1Сечение проходит через точки M, N и P, лежащие на

ABCDNKMСечение проходит через точку M, лежащую на ребре DA, параллельно грани

Найти: площадь сечения, тетраэдра с ребром равным 3 см, если точка

AB1A1PCBDD1MNKC1

AB1A1PCBDD1MNKC1

AB1A1PCBDD1MNKC1

β•АαДокажем единственность плоскости β методом от противного.•С•Ввсβ1γ Допустим, что существует плоскость

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.Свойство параллельных плоскостей.Доказать: АВ

Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α,

Похожие презентации

Аксиомы группы С
Какова бы ни была плоскость,
существуют точки,
принадлежащие

Аксиомы группы С
Если две различные плоскости
имеют общую точку,
то

Аксиомы группы С
Если две различные прямые
имеют общую точку,
то

Через любую прямую
и не принадлежащую ей точку
можно провести плоскость,

Если две точки прямой
принадлежат плоскости,
то вся прямая принадлежит плоскости

Через 3 точки,
не лежащие на одной прямой,
можно провести плоскость,

Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые
проходит плоскость,
и притом только одна.
к
Следствие

Вывод
в пространстве можно однозначно задать плоскость …
1. По трем точкам
2. По

Нет
Да
Нет
Да
Нет
Да
Определите: верно, ли утверждение?

Взаимное расположение Прямых и Плоскостей в пространстве
Взаимное расположение Прямых в пространстве
Взаимное

1. Параллельные Прямые
Параллельными прямыми называются прямые,
которые лежат в одной плоскости

1. Параллельные Прямые
2) Признаки Параллельности:
I. Две прямые, параллельные третьей -

2. Пересекающиеся прямые
Две прямые называются пересекающимися
если они имеют
общую точку.

3. Скрещивающиеся прямые
Прямые называются скрещивающимися,
если одна из прямых лежит в

Признак
скрещивающихся
прямых
Угол между
скрещивающимися
прямыми

пересекаются
параллельны
а
а
а
b
b
b
скрещиваются
Лежат в одной плоскости
Не лежат в одной плоскости
Взаимное расположение прямых в

Взаимное расположение Плоскостей в пространстве
1) Параллельные плоскости
2) Пересекающиеся плоскости

1. Параллельные плоскости
Плоскости,
не имеющие общих точек, называются Параллельными

2. Пересекающиеся плоскости
Плоскости называются пересекающимися,
если они имеют общие точки

Взаимное расположение Прямых и Плоскостей в пространстве
1. Параллельность плоскости и прямой
2.

1. Параллельность плоскости и прямой
Прямая и плоскость называются параллельными, если они

Параллельность
прямой и плоскости
Важное следствие

2. Пересечение плоскости и прямой
Плоскость и прямая называются пересекающимися,
если они

3. Перпендикулярность Плоскости и прямой
Прямая, пересекающая плоскость,
называется перпендикулярной этой плоскости,

Расположение плоскостей в пространстве.
α ∩ β
α и β совпадают
α ⎜⎜

Ответьте на вопросы:
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно

Задание 1 Вставьте пропущенные слова
Единственную плоскость можно задать через три

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?
Нет
Нет
Да
Да
Нет

Признак параллельности двух плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны

Теорема
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём

Определите: верно, ли утверждение?
1. если плоскости не пересекаются, то они

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
P
Q
T
O
Параллелепипед ABCDA1B1C1D1
Сечение проходит через точки M, N и P, лежащие на

A
B
C
D
N
K
M
Сечение проходит через точку M, лежащую на ребре DA, параллельно грани

A
B1
A1
P
C
B
D
D1
M
N
K
C1

A
B1
A1
P
C
B
D
D1
M
N
K
C1

A
B1
A1
P
C
B
D
D1
M
N
K
C1

β
•
А
α
Докажем единственность плоскости β методом от противного.
•
С
•
В
в
с
β1
γ
Допустим, что существует плоскость

Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными
плоскостями, равны.
Свойство параллельных плоскостей.
Доказать: АВ