Сфера и шар

Ортогональной проекцией сферы является круг, радиус которого равен радиусу сферы.

Сечением сферы плоскостью α0 является окружность радиуса R, равного радиусу сферы. Если А точка сферы, не принадлежащая этой окружности, и А0 ее ортогональная проекция на плоскость α0, то ОА0 < OA R. Таким образом, при ортогональном проектировании на плоскость α0 точки этой окружности остают­ся на месте, а остальные точки сферы проектируются внутрь соответствующего круга. Следовательно, ортогональной проекцией сферы является круг того же радиуса.

Доказательство. Проведем плоскость α0, проходящую через центр сферы О и параллельную плоскости проектирования α. Поскольку плоскости α и α0 параллельны, то проекции сферы на эти плоскости будут равны.

(экватор) – сечение сферы плоскостью, проходящей через ее центр и образующей острый угол с направлением проектирования. Изображением экватора будет эллипс. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости экватора называются параллелями. Они также изображаются эллипсами. Диаметр, перпендикулярный плоскости экватора называется осью, концы этого диаметра называются полюсами. Большие окружности, проходящие через полюсы называются меридианами. На рисунке изображена сфера с параллелями, меридианами и полюсами.

видом сферы спереди, и построим вид сферы слева, т.е. ортогональную проекцию сферы на плоскость, проходящую через ось сферы и перпендикулярную плоскости проектирования. Экватор и ось сферы изобразятся перпен­дикулярными диаметрами PQ и CD. Изображение полюсов на основной плоскости получается параллельным переносом полюсов на виде сферы слева.

На практике можно не прибегать к построению вспомогательного чертежа (вида сферы слева). Для построения изображения полюсов P и Q достаточно заметить, что прямоугольные треугольники OPR и OCE равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, имеет место равенство отрезков RP = CE. Но RP = PP1 и CE = OC. Значит PP1 = OC. Аналогично, QQ1 = OD. После этого точки P и Q выбираются так, чтобы выполнялись эти равенства.

перпендикулярном прямой c. Отметьте полюса у полученного изображения сферы.

в сечении получается фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от точки O на расстояние R, т.е. окружность радиуса R.

Если плоскость не проходит через центр O сферы, то опустим из него на плоскость α перпендикуляр ОО1. При этом, если длина этого перпендикуляра больше R, то расстояние от точки О до любой другой точки плоскости α и подавно больше R и, следовательно, в этом случае сфера и плоскость не имеют общих точек.

α равно R, то сфера и плоскость имеют единственную общую точку – О1. В этом случае α является касательной плоскостью.

Если расстояние d от точки О до плоскости α меньше R, то в этом случае пересечением сферы и плоскости является окружность с центром в точке О1 и радиусом

называется касательной прямой.

Теорема. Все отрезки касательных прямых, проведенных из одной точки к данной сфере, равны между собой.

Доказательство. Пусть AB и AC – отрезки касательных к сфере, проведенных из точки A. Рассмотрим плоскость α, проходящую через точки A, B и C. Она пересекает сферу по окружности, касающейся прямых AB и AC в точках B и С соответственно. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности, имеем AB = AC.

окружность; б) через окружность и точку, не принадлежащую ее плоскости?

Ответ: а) Бесконечно много;

б) одну.

квадрата; б) равнобедренной трапеции; в) ромба?

Ответ: а) Бесконечно много;

б) бесконечно много;

в) ни одной.

большой круг?

Ответ: Нет.

круга?

Ответ: Диаметрально противоположные.

могла пройти сфера того же радиуса?

Ответ: Иметь общий центр.

сферы: а) не имеют общих точек; б) касаются; в) пересекаются?

Ответ: а) Если расстояние между центрами сфер больше суммы или меньше разностей их радиусов, то сферы не имеют общих точек;

б) если расстояние между центрами сфер равно сумме или разности их радиусов, то сферы касаются;

в) если расстояние между центрами сфер меньше суммы и больше разностей их радиусов, то сферы пересекаются.

8. Найдите радиус окружности, по которой пересекаются эти сферы.

Ответ: 3.

на 3 см. Вычислите радиус круга, получившегося в сечении.

Ответ: 4 см.

радиуса шара составляет радиус круга, получившегося в сечении?

60° к нему. Найдите площадь сечения.

O и радиусом 3 см. Определите расстояние от этой точки до точки касания, если OA = 5 см.

Ответ: 4 см.

Найдите радиус шара, если длина окружности получившегося сечения составляет длины окружности его большого круга.

Ответ: 30 см.

прямую, проходящую вне сферы; б) через точку, принадлежащую сфере; в) через точку, лежащую вне сферы?

Ответ: а) Две;

б) одну;

в) бесконечно много

условии, что ни одна из них не лежит внутри другой?

Ответ: Да.

плоскостей; б) пересекающихся плоскостей.

Ответ: а) Плоскость, параллельная данным;

б) две биссектральные плоскости без линии их пересечения.

расстояние от центра сферы до ребра этого двугранного угла.

не имеют общих точек; б) касаются; в) пересекаются?

Ответ: а) Если расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса, то сфера и прямая не имеют общих точек;

б) если расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу, то прямая касается сферы;

в) если расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса, то сфера и прямая пересекаются.

точку: а) на сфере; б) вне сферы?

Ответ: а) Бесконечно много;

б) бесконечно много.