Случайные события. Определения вероятности. Лекция № 2

Содержание

Слайд 2

Испытания и исходы Испытанием назовем эмпирические наблюдения, тестирование, проведение эксперимента. Пример

Испытания и исходы

Испытанием назовем эмпирические наблюдения, тестирование, проведение эксперимента.
Пример испытания:

подбрасывание игральной кости.
В результате испытания получаем исходы.
Пример исходов:
- выпадение единицы
- выпадение четного числа очков
- выпадение не менее четырех очков
Слайд 3

Элементарные исходы Элементарный исход испытания не может быть разделен на другие

Элементарные исходы

Элементарный исход испытания не может быть разделен на другие исходы.


Пример. Исход «Выпадение четного числа» не является элементарным, поскольку может быть разделен на исходы «выпадение двойки», «выпадение четверки» и «выпадение шестерки». Эти три исхода являются элементарными.

Выпало
четное число
очков

Выпало 2

Выпало 4

Выпало 6

Неэлементарный исход

Элементарные исходы

Слайд 4

Пространство элементарных исходов Пространство элементарных исходов включает все элементарные исходы, которые

Пространство элементарных исходов

Пространство элементарных исходов включает все элементарные исходы, которые могут

произойти в результате испытания.
Пример. Пространство элементарных исходов:
«1», «2», «3», «4», «5», «6».
Слайд 5

Диаграмма Венна Для графического представления пространства случайных событий и отношений между

Диаграмма Венна

Для графического представления пространства случайных событий и отношений между событиями

принято использовать диаграммы Венна (Эйлера-Венна).
Слайд 6

Случайное событие Пространство элементарных исходов Событие А Случайное событие есть некоторое

Случайное событие

Пространство
элементарных
исходов

Событие А

Случайное событие есть некоторое подмножество пространства элементарных

исходов испытания.

Обозначаем ожидаемое нами событие А.

Слайд 7

Примеры случайных событий Случайное событие – некоторое подмножество пространства элементарных исходов испытания.

Примеры случайных событий

Случайное событие – некоторое подмножество пространства элементарных исходов испытания.


Слайд 8

Невозможное и достоверное события Достоверным назовем событие, наступающее при любом исходе

Невозможное и достоверное события

Достоверным назовем событие, наступающее при любом исходе испытания.


Невозможным назовем событие, не наступающее ни при одном исходе испытания.
Пример. Достоверное событие: при подбрасывании монеты выпадет Орел или Решка.
Невозможные события: «Встанет на ребро», «Повиснет в воздухе».
Слайд 9

Равновозможные события Равновозможными назовем события, для которых есть основания считать, что

Равновозможные события

Равновозможными назовем события, для которых есть основания считать, что ни

одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример. События A и B:
А = { выпадет четное число очков }
В = { выпадет нечетное число очков }
являются равновозможными.
Слайд 10

Несовместные события Событие А Событие B События А и В называются

Несовместные события

Событие А

Событие B

События А и В называются несовместными, если они

не могут произойти одновременно.
В противном случае, эти события являются совместными.
Слайд 11

Примеры совместные события идет дождь и идет снег; человек ест и

Примеры

совместные события
идет дождь и идет снег;
человек ест и человек

читает;
число целое и четное;
несовместные события
день и ночь;
человек читает и человек спит;
число иррациональное и четное.
Слайд 12

Противоположное событие (по отношению к рассматриваемому событию А) это событие ,

Противоположное событие

(по отношению к рассматриваемому событию А) это событие , которое

не происходит, если А происходит, и наоборот.
Слайд 13

Примеры если сейчас день, то сейчас не ночь; если человек спит,

Примеры

если сейчас день, то сейчас не ночь;
если человек спит, то

в данный момент он не читает;
если число иррациональное, то оно не является четным.
Слайд 14

Сумма событий Суммой A+B случайных событий A и B называется событие,

Сумма событий

Суммой A+B случайных событий A и B называется событие, состоящее

в том, что произошло хотя бы одно из них.

AB

A

B

E

Сумма A+B означает, что произошло событие A или событие B, не исключая того, что они могли произойти оба.
Сумма событий есть их объединение.
Любой элементарный исход, который входит в событие A или событие B, входит также и в их сумму A+B.

Слайд 15

Произведение событий Произведением AB событий A и B называется событие, состоящее

Произведение событий

Произведением AB событий A и B называется событие, состоящее в

том, что произошли оба события.

AB

A

B

E

Произведение AB означает, что произошло и событие A, и событие B одновременно.
Произведение событий есть их пересечение.

Слайд 16

Полная группа событий H1 E H2 Hn H3 … События H1,

Полная группа событий

H1

E

H2

Hn

H3

…

События H1, H2, … , Hn образуют полную

группу событий, если они попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием.
Слайд 17

Благоприятные исходы Элементарные исходы, образующие событие А, назовем благоприятными. Если мы

Благоприятные исходы

Элементарные исходы, образующие событие А, назовем благоприятными.
Если мы ожидаем

событие А, то появление любого элементарного исхода, образующего событие А, для нас является благоприятным.
P.S. «Благоприятные» не значит «хорошие».
Слайд 18

15 февраля 2015 г. Классическое определение вероятности

15 февраля 2015 г.

Классическое определение вероятности

Слайд 19

Пьер-Симо́н Лапла́с Классическое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа.

Пьер-Симо́н Лапла́с

Классическое определение вероятности было впервые дано в работах французского

математика Лапласа.
Слайд 20

Вероятностью события А назовем отношение числа благоприятных исходов к общему числу

Вероятностью события А назовем отношение числа благоприятных исходов к общему числу

элементарных исходов:
где m – число благоприятных исходов,
n – общее число элементарных исходов.

Вероятность (классическое определение)

Слайд 21

Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Свойство 2.

Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Свойство 2. Вероятность

невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы:
Слайд 22

Вероятность – мера со шкалой от 0 до 1 0 1

Вероятность – мера со шкалой от 0 до 1

0

1

Невозможное
событие

Достоверное
событие

Вероятность выступает

мерой для случайных событий. Каждому случайному событию ставится в соответствие одно единственное число от 0 до 1 включительно, которое называется вероятностью этого события.
Слайд 23

Интерпретация вероятности 0 1 Невероятно Достоверно 0,5 50/50 Маловероятно Вероятно

Интерпретация вероятности

0

1

Невероятно

Достоверно

0,5

50/50

Маловероятно

Вероятно

Слайд 24

Бросаем монетку 2 Выпал «орел» 1 Вытягиваем экзаменаци- онный билет Вытянули

Бросаем монетку

2

Выпал «орел»

1

Вытягиваем экзаменаци- онный билет

Вытянули билет №5

24

1

Бросаем кубик

На кубике выпало

четное число
6
3

Играем в лотерею

Выиграли, купив один билет
250
10

Слайд 25

Пример. Подбрасываем две монеты. Имеется четыре элементарных исхода: Орел - Орел

Пример.

Подбрасываем две монеты.
Имеется четыре элементарных исхода:
Орел - Орел
Орел - Решка


Решка - Орел
Решка - Решка
Событие:
А = {Герб выпал не менее одного раза}
состоит из трех элементарных исходов.
Его вероятность равна 3 / 4.
Слайд 26

Пример. Бросается игральная кость. Элементарные исходы: число выпавших очков равно 1,

Пример.

Бросается игральная кость.
Элементарные исходы:
число выпавших очков равно 1, 2,

3, 4, 5 или 6.
Случайное событие
В = {число выпавших очков меньше 3}
Ему благоприятны выпадение 1 и 2.
P(В) = 2/6 = 1/3
Случайное событие
С = {число выпавших очков больше 2}
Ему благоприятны исходы 3, 4, 5, 6.
P(C) = 4/6 = 2/3
Слайд 27

Правило округления Если вероятность вычисляется в десятичных знаках, округляем ее до

Правило округления

Если вероятность вычисляется в десятичных знаках, округляем ее до трех

знаков после запятой:
P(A) = 2/3 = 0,667
P(B) = 100/205 = 0,488
Слайд 28

Статистическое определение вероятности

Статистическое определение вероятности

Слайд 29

Ошибка Даламбера Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю

Ошибка Даламбера

Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю

теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Жан Лерон Даламбер
(1717 -1783)

Слайд 30

Ошибка Даламбера Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они

Ошибка Даламбера

Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут

на одну и ту же сторону?

Решение Даламбера:
Опыт имеет три
равновозможных исхода:
1) обе монеты упадут на «орла»;
2) обе монеты упадут на «решку»;
3) одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».
Из них благоприятными
будут два исхода.

Правильное решение:
Опыт имеет четыре
равновозможных исхода:
1) обе монеты упадут на «орла»;
2) обе монеты упадут на «решку»;
3) первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»;
4) первая монета упадет на «решку», вторая на «орла».
Из них благоприятными будут
два исхода.

Слайд 31

Опыт «Выбор перчаток». В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из

Опыт «Выбор перчаток». В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из

нее, не глядя, вынимаются две перчатки. Перечислите все равновозможные исходы.
Какой вариант решения правильный:

Правило: природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.

1-ый вариант: 3 исхода: 1) «обе перчатки на левую руку», 2) «обе перчатки на правую руку», 3) «перчатки на разные руки».

2-ой вариант: 4 исхода: 1) «обе перчатки на левую руку», 2) «обе перчатки на правую руку», 3) «первая перчатка на левую руку, вторая на правую», 4) «первая перчатка на правую руку, вторая на левую».

Слайд 32

Вывод Формула классической вероятности дает очень простой способ вычисления вероятностей. Однако

Вывод

Формула классической вероятности дает очень простой способ вычисления вероятностей. Однако

простота этой формулы обманчива. При ее использовании возникают два очень непростых вопроса:
Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможными, и можно ли это сделать вообще?
Как найти числа т и п и убедиться в том, что они найдены верно?
Слайд 33

Опыт человечества: Вероятность попасть под дождь в Лондоне гораздо выше, чем

Опыт человечества:

Вероятность попасть под дождь в Лондоне гораздо выше, чем в

пустыне Сахара.

Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается тем более вероятным, чем чаще оно происходит. Значит, вероятность должна быть каким-то образом связана с частотой.

Можно ли вычислить вероятность события с помощью ряда экспериментов?

Слайд 34

Частота случайного события Абсолютной частотой случайного события А в серии из

Частота случайного события

Абсолютной частотой случайного события А в серии из N

случайных опытов называется число NA , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие А.
Слайд 35

Частота случайного события Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений

Частота случайного события

Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого

события к общему числу проведенных экспериментов:
где А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию,
N раз проведено испытание и при этом событие А наступило в NA случаях.
Слайд 36

Примеры Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных

Примеры

Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных

детей 515 мальчиков. Какова частота рождения мальчика в такой серии наблюдений?

Ответ: 0,515

Слайд 37

Пример 2. За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней.

Пример 2. За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных

дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?

Ответ: 0,728; 0,272

Слайд 38

Фундаментальным свойством относительных частот является тот факт, что с увеличением числа

Фундаментальным свойством относительных частот является тот факт, что с увеличением числа

опытов относительная частота случайного события постепенно стабилизируется и приближается к вполне определенному числу, которое и следует считать его вероятностью.

Можно ли относительную частоту принять за вероятность?

Слайд 39

Пример. Подбрасывание монеты. А – выпадает герб. Классическая вероятность: всего 2 исхода, 1 исход события А:

Пример.
Подбрасывание монеты. А – выпадает герб.
Классическая вероятность:
всего 2

исхода,
1 исход события А:
Слайд 40

Проверка Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и

Проверка

Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при

этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Жорж Бюффон

Слайд 41

Проверка Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем

Проверка

Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб

выпал 12012 раз.
Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Карл Пирсон

Слайд 42

Результаты Вывод Пример подтверждает естественное предположение о том, что вероятность выпадения

Результаты

Вывод

Пример подтверждает естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при

одном бросании монеты равна 0,5
Слайд 43

Статистическая вероятность Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события, полученной

Статистическая вероятность

Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события, полученной

при проведении большого числа случайных экспериментов: ,
где - число испытаний, в которых наступило событие А, N – общее число испытаний.
Слайд 44

Задача №1. Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных

Задача №1.

Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных

пород, были проведены следующие эксперименты. Каждый исследователь выбрал свою тропинку и по пути следования записывал породу каждого десятого дерева.
Результаты были занесены в таблицу:
Породы Сосна Дуб Береза Ель Осина Всего
Число деревьев 315 217 123 67 35 757
Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево будет:
а) сосной; б) хвойным; в) лиственным.
Ответ запишите в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой.
Слайд 45

Решение: а) A={выбранное наугад в парке дерево - сосна} NА =

Решение:
а) A={выбранное наугад в парке дерево - сосна} NА = 315,

N = 757, Р(А) = 315/757 ≈ 0,416;
б) В ={выбранное наугад в парке дерево - хвойное} NА = 315 + 67 = 382, N = 757. Р(А) = 382/757 ≈ 0,505;
в) C = {выбранное наугад в парке дерево - лиственное} NА = 217 + 123 + 35 = 375, N = 757. Р(А) = 375/757 ≈ 0,495.
Слайд 46

Геометрическая вероятность

Геометрическая вероятность

Слайд 47

Опыт 1. Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим

Опыт 1. Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим

глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России?

Число исходов бесконечно.
Вероятность будет зависеть от размера карты (масштаба).

Слайд 48

ГИПОТЕЗА: Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей

ГИПОТЕЗА: Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей

карты занимает Россия.
Точнее, какую часть всей площади карты составляет Россия.
Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.
Слайд 49

Общий случай: в некоторой ограниченной области Ω случайно выбирается точка. Какова

Общий случай: в некоторой ограниченной области Ω случайно выбирается точка. Какова

вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L?

А

Ω

L

Слайд 50

Геометрическое определение вероятности Если предположить, что попадание в любую точку области

Геометрическое определение вероятности

Если предположить, что попадание в любую точку области

Ω равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей:
Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.
Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой:
- Предыдущая
История теории вероятностей. Элементы комбинаторики. Лекция №1
Следующая -
Линейные уравнения с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля

Похожие презентации

Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Презентация на тему Табличное умножение и деление
Тела гладкие. Тела складчатые
Показательная функция
Способы задания положения тела. Координатная прямая
Многогранники
Математика 6 класс Колесова Жанна Валерьевна учитель математики МОУ «СОШ п. Бурасы Новобурасского района Саратовской обл
Линейная алгебра
Ладанова И.В. МКОУ «Верх-Жилинская ООШ»
Анализ геометрической формы. Порядок чтения чертежей деталей
Бесконечные периодические десятичные дроби
Лекция 1. Исследование функции
Теорема Виета. (8 класс)
Игра на поиск логических пар
Презентация по математике "Линейная функция и её график" - скачать
Приближенные значения чисел. Округление чисел
Типовые классы детерминированных аналитических моделей
Смежные углы
Математический диктант
Неравенство треугольника
Решение показательных уравнений. 10 класс
Презентация по математике "Равные фигуры" - скачать
Масштаб
Модуль числа. Урок математики в 6 классе
Математическая викторина
Кубический корень
Маршрутный лист группы
Космические задачи. Подготовка к ЕГЭ и ГИА
Вы можете прислать нам Вашу презентацию и мы опубликуем ее на сайте.
Обратная связь
Для правообладателей
Email: Нажмите что бы посмотреть