Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Август 11, 2022

Главная
Математика
Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Содержание

2. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию: Будем последовательно вычислять суммы двух, трех и т. д. членов прогрессии. Получим:
3. Если последовательность сходится к пределу , то число называют суммой геометрической прогрессии. ! Обратите внимание: называют
4. Если знаменатель геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству , то сумма прогрессии вычисляется по формуле . Доказательство. Как
5. Пример. Найти сумму геометрической прогрессии: 27, 9, 3, 1, … Решение. Имеем: ; . Так как
7. Скачать презентацию

Слайд 2

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию:
Будем последовательно вычислять суммы двух, трех

и т. д. членов прогрессии. Получим:

;

;

;

…

.

Получили последовательность

Слайд 3

Если последовательность
сходится к
пределу
, то число
называют
суммой геометрической прогрессии.
!

Обратите внимание: называют не суммой членов геометрической прогрессии, а суммой геометрической прогрессии.

Если же эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме членов - можно, естественно, и в том случае.

Слайд 4

Если знаменатель геометрической прогрессии
удовлетворяет неравенству , то сумма прогрессии

вычисляется по формуле

.

Доказательство.
Как известно ,сумма первых членов геометрической прогрессии может быть высчитана по формуле:

.

Как ранее мы установили:

.

А так как

мы назвали суммой геометрической

прогрессии, то формула доказана

.

Слайд 5

Пример.
Найти сумму геометрической прогрессии:
27, 9, 3, 1, …
Решение.
Имеем: ;
.
Так как знаменатель

прогрессии

, то можно

воспользоваться формулой, доказанной нами только что:

. Значит,