Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой А + В двух событий А и В называют новое

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы

Теорема: вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна

Следствие: вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого,

Задача 1 В корзине 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15

Решение:

Задача 2 Стрелок стреляет по мишени, разделённой на три области. Вероятность попадания

Р(А+В) = 0,45 + + 0,35 =0,8.

ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ

Теорема: Сумма вероятностей событий образующих полную группу, равна единице

Задача 3 Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из

Решение: 0,7 + 0,2 + р = 1; р = 0,1.

ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СОБЫТИЯ

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно

Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. А

- промах

Задача 4 Вероятность того, что день будет дождливым, равна 0,7. Найти вероятность

Решение: =1-0,7=0,3

Задача 5 В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того,

Решение: А – хотя бы одна стандартная - стандартных нет

Р(А) =

Задача 6 Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равна соответственно

Решение: 1) - первый попал, второй не попал;

второй попал, первый не попал;

первый попал, второй попал;

Р(А) = 0,14 + 0,24 + 0,56 = 0,94 или Р(А)

Задача 7 Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Вычислите вероятность того,

Решение: - студент знает первый вопрос;

студент знает второй вопрос

Теорема: если события А и В совместны, то вероятность их суммы

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в

Например, если А -деталь годная, В -деталь окрашенная, то АВ -деталь

Условной вероятностью

-называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие

В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды

Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило,

Теорема: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из

вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

По определению условной вероятности

Вероятность совместного проявления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них

причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие

В частности, для трех событий

Задача 8. В урне 5 белых, 4 чёрных и 3 синих

Найдите вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (А),

НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

Событие В называют независимым от события А, если появление события А

т.е. условная вероятность события В равна его безусловной вероятности

Для независимых событий теорема умножения имеет вид

ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ

Вероятность появления хотя бы одного из событий

Независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных

В частности,

Задача 9 вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадёт в цель,

Чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя

Р(А) ≥ 0,9

Значит, стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов

Задача 10 Из партии бюллетеней, доставленных с 3 избирательных участков, эксперт отбирает

Задача 11 Для успешной сдачи экзамена необходимо ответить хотя бы на один