Презентации по Математике

Теорема синусов Формулировка. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. С b a c A B a sin A b sin B c sin C = = Задачи Нахождение стороны Нахождение угла Дано: ВС = 80, ∠С = 58° ∠А = 75° Найти: АВ Дано: ВС = 80, АВ = 70 ∠А = 75° Найти: ∠С С 58° 80 ? A B 75° С 75° 80 70 A B ? Решение. Решение. ВС sin A АВ sin C = АВ = 80 ∙ sin 58° sin 75° АВ = ВС ∙ sin С sin А ≈ 80 ∙ 0,85 0,97 АВ ≈ 70 ВС sin A АВ sin C = sin C ВС АВ ∙ sin A = sin C 80 70 ∙ sin 75° = 80 70 ∙ 0,97 ≈ sin C ≈ 0.85, ∠ С ≈ 58°

А В С Д О Задача 1 А В С Д Задача 1

Немного повторим С = 90 А В С о Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой. Не тот глуп, кто не знает, а тот, кто не хочет знать. Григорий Сковорода А катет гипотенуза С В катет Сторона, лежащая против прямого, угла называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Смежные углы ? 60 ° А В О С ∠АОС+∠ВОС=180 ° Повторение Вертикальные углы равны А О В С М ? 60 ° Повторение ?

Какие из следующих утверждений верны? 1 2 3 4 Если угол равен 450, то вертикальный с ним угол равен 450. Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. Через любые три точки проходит ровно одна прямая. Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1. Верно. Не верно! Не верно! Не верно! Какие из следующих утверждений верны? 1 2 3 4 Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 650, то эти две прямые параллельны. Любые две прямые имеют не менее одной общей точки. Через любую точку проходит не более одной прямой. Любые три прямые имеют не менее одной общей точки. Верно. Не верно! Не верно! Не верно!

Цель урока: Совершенствовать умения и навыки решения задач по геометрии. Выбрать верное утверждение. Задачи типа 13 части «Геометрия»

1. Найти: Дано: О R1 R2 2. Найти: Дано: .O1 .O2 .O3

История Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I. По мнению Кантора, натягиватели верёвок, строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, то есть к 2000 году до н. э., приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников.

Какой треугольник называется прямоугольным ? ВС - гипотенуза АВ и АС - катеты Как называются стороны прямоугольного треугольника ?

Прямоугольный треугольник ∠ А + ∠ В = 90° гипотенуза катет А С В катет Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. 24 см 30° Найдите: QR. P R Q Равнобедренный прямоугольный треугольник. 5 см О М К Найдите: КО, ∠ О и ∠ М.

Прямоугольник, ромб, квадрат Определение прямоугольника Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые D А В С Прямоугольник – выпуклый четырехугольник Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма: АВ = СD, BC = AD O А0 = OС, BO = OD

Глава «Четырехугольники» Многоугольники Определение Фигура, составленная из смежных отрезков, не лежащих на одной прямой, и несмежных, не имеющих общих точек, называется многоугольником А В С D Е F

Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными. M B A N O Построение перпендикулярных прямых M B A N O

О Луч О Точка О делит прямую АВ на две части: ОА – луч ОВ – луч. А В О А Точка О – начало луча ОА Конца у луча нет А В Лучи, на которые точка разбивает прямую, называются дополнительными друг другу C A B О Угол Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки h k Сторона угла Сторона угла Вершина угла Обозначения угла: q p

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 А С В ? Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы 0 А С В D ? AB = BD = AD

Теорема В треугольнике против большей стороны лежит больший угол А С В Доказательство D 1 2 ? ? На стороне АВ отложим АD=AC Оба случая противоречат условию Предположим, что АВ=АС или АВ AC

Теорема Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним А С В Доказательство 3 4 D 1 2 ? ? Copyright © 2009 by  Zykin Valerij  Все права защищены. Copyright © 2009 by  http://www.mathvaz.ru

Теорема А С В Доказательство Через вершину В проведем а||AC a 2 3 5 ? ? ? 1 4 Задача Найдите неизвестный угол треугольника А С В ?

Определения а b с Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках 8 7 6 5 3 2 1 Названия углов накрест лежащие углы: односторонние углы: соответственные углы: 4 1. Отметим середину отрезка АВ. АО=ОВ Теорема Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны а b А В 1 2 Дано: АВ пересекает прямые a и b. Доказать: Доказательство Выполним построения: О Н 3. На прямой b от точки В отложим и проведем отрезок ?

Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными M B A N Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны l a b

ДАНО: Окружность с центром в точке О радиуса r Прямая, которая не проходит через центр О Расстояние от центра окружности до прямой обозначим буквой s O r s ВОЗМОЖНЫ ТРИ СЛУЧАЯ: 1) s

Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и вообще, существенно упростить процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. Важный шаг в развитии тригонометрии был сделан индийскими учеными. Окончательный вид тригонометрия приобрела в 17 веке в трудах Л.Эйлера. Леонард Эйлер (1707-1783)

4. 5. 6.

Историческая справка Пифагор – древнегреческий ученый, живший в VI веке до нашей эры. Вообще надо заметить, что о жизни и деятельности Пифагора, который умер две с половиной тысячи лет тому назад, нет достоверных сведений. Биографию учёного и его труды приходится реконструировать по произведениям других античных авторов, а они часто противоречат друг другу. С именем Пифагора связано много важных научных открытий: в географии и астрономии – представление о том, что Земля – шар и что существуют другие, похожие на неё миры; в музыке – зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издаёт; в геометрии – построение правильных многоугольников (один из них пятиконечная звезда – стал символом пифагорейцев). Венчала геометрию теорема Пифагора, которой посвящён сегодняшний урок. Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.