Задачи на построение.

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку В

.

2. Раствором циркуля, равным c, описываем окружность с центром B и радиусом c. Пусть А – точка её пересечения с прямой.

В

3. Раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра А.

4. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность из центра В.

5. Пусть точка С – точка пересечения этих окружностей.

С

.

6. Проведем отрезки ВС и АС. Треугольник АВС имеет стороны, равные a, b, c.

1. Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла.

2. Пусть В и С – точки пересечения окружности со сторонами угла.

3. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О – начальной точке данной полупрямой.

4. Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В1

5. Опишем окружность с центром В1 и радиусом ВС.

6. Точка С1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.

7. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники АВС и ОВ1С1 равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы А и О являются соответствующими углами этих треугольников.

О

С1

В1

А

2. Пусть точки В и С – точки её пересечения со сторонами угла.

.

В

.

С

А

3. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности.

4. Пусть D – точка пересечения, отличная от А. Проводим полупрямую AD.

.

D

5. Луч AD является биссектрисой, так как делит угол ВАС пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD , у которых углы DAB и DAC являются соответствующими.

2. Пусть точки С и С1 – точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ.

С

С1

.

.

3. Отрезок СС1 пересекает прямую АВ в некоторой точке О. Эта точка есть середина отрезка АВ.

.

О

4. Действительно, треугольники САС1 и СВС1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов АСО и ВСО. Треугольники АСО и ВСО равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны АО и ВО этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом, О – середина отрезка АВ.

1-й случай: точка О лежит на прямой.

.

О

1. Из точки О любым радиусом описываем окружность. Она пересекает прямую в точках А и В.

Построение

.

.

А

В

2. Из точки А и В радиусом АВ описываем окружности. Они пересекаются в точке С (выбираем одну полуплоскость).

.

С

3. Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

Построение

.О

А.

.В

2. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Точка О1 – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О.

.О1

3. Искомая прямая проходит через точки О и О1 .

4. Докажем это.
Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО1. Треугольники АОВ и АО1В равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу О1АС. А тогда треугольники ОАС и О1АС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО1 равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС – перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую.

.С