ДУ высших порядков. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Лекция 13

ДУ высших порядков.

Рассмотрим

Решения характеристического уравнения:

Возможны 3 случая:

Общее решение:

Пример .

Решение.

Найти общее решение ОЛДУ

Можно показать,что второе линейно независимое частное решение имеет вид:

Пример .

Решение.

Найти общее решение ОЛДУ

Частные решения имеют вид:

Ранее было показано, что если ОЛДУ имеет комплексное решение, то его

Определитель Вронского для этих y1 и y2 не равен нулю (показать

Решение.

Пример.

Найти общее решение ОЛДУ

Рассмотрим ОЛДУ n-го порядка:

являются линейно независимыми частными решениями ОЛДУ n-го порядка, то его общее

Составим характеристическое уравнение для ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

В зависимости

Решение.

Пример.

НЛДУ второго порядка имеет вид:

Сложим уравнения почленно

Доказательство:

Докажем, что при любых начальных условиях

удовлетворяло этим начальным условиям.

Подставим начальные условия

Пусть

Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных.

Пусть известно общее

Подставим это в НЛДУ

Тогда

Решение.

Пример.

Найдем решение ОЛДУ

Ищем частное решение НЛДУ в виде: