Матрицы и определители

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Матрицы и определители

Содержание

2. Тема 1. Матрицы и определители §1. Понятие матрицы. Действия с матрицами Прямоугольной матрицей размера m×n называется
3. Любая матрица, имеющая одинаковое число строк и столбцов (m=n), называется квадратной матрицей порядка n. Её элементы
4. Важную роль в теории матриц играют следующие частные виды матриц: матрица-столбец (матрица размера m×1) матрица-строка (матрица
5. треугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю диагональная
6. cкалярная матрица – диагональная матрица, все элементы которой равны (a11=a22=…=ann=λ) единичная матрица – скалярная матрица при
7. Действия с матрицами 1. Две матрицы A=(aij) и B=(bij) называются равными, если они одного размера и
8. 3. Операция умножения матрицы на число: tA=At=(t aij). Свойства операции: t⋅(l⋅A)=(t⋅l)⋅A; (t+l)⋅A=t⋅A+l⋅A; t⋅(A+B)=t⋅A+t⋅B.
9. Пример. Найти матрицу C=2A+4B, если
10. 4. Операция умножения матрицы Am×n на матрицу Bk×p определена только в том случае, если число столбцов
11. Тогда произведением матрицы A размера m×n со строками A1, A2,…, Am на матрицу B размером n×p
12. Пример 1. Вычислить произведение матриц
13. Пример 2. Вычислить значение многочлена f(x)=3x2 −2x+5 от матрицы
14. Свойства операции умножения матриц:
15. 5. Транспонированием матрицы называется операция замены строк матрицы её столбцами с сохранением их номеров. Например, если
16. Свойства операции транспонирования:
17. §2. Определители и их свойства Понятие определителя вводится только для квадратных матриц и при n≥3 связано
18. Пример. Найти алгебраические дополнения матрицы третьего порядка.
19. Тогда
20. Определитель n-го порядка вводится по индукции аналогичным образом через определители (n−1)-го порядка: Краткая запись:
21. Пример. Вычислить определитель матрицы
22. Свойства определителей: Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: det AT=det A. При перестановке местами двух
23. Часто определители удобно вычислять, используя их свойства. Например, определитель удобно разлагать по строке (столбцу), содержащей нули,
24. §3. Обратная матрица Матрица B=A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если A⋅A−1=A−1⋅A=E. Замечание. Не для
25. Если для матрицы A существует обратная A−1, то матрица называется обратимой (или невырожденной). В противном случае
26. Теорема. Если определитель матрицы A отличен от нуля, то обратная матрица A−1 существует и вычисляется по
27. Пример1. Найти обратную матрицу для
28. Пример2. Найти обратную матрицу для
29. Решение матричных уравнений С помощью обратной матрицы можно решить матричное уравнение АХ = В (или ХА
30. Пример 1. Решить матричное уравнение A X B = C, где
31. Пример 2. Решить матричное уравнение
32. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований Рассмотрим следующие элементарные преобразования матрицы: 1) перестановка строк (столбцов); 2)
33. Для отыскания обратной матрицы A−1 следует: 1) построить расширенную матрицу (A|E), приписывая к матрице A справа
34. Пример. Найти обратную матрицу A−1 для матрицы
35. Решение матричного уравнения методом элементарных преобразований Для решения уравнения вида АХ = В следует: 1) построить
36. Для решения уравнения вида ХА= В следует: 1) транспонировать исходное уравнение (ХА)Т= ВТ, тогда АТХТ= ВТ
38. Скачать презентацию

Слайд 2

Тема 1. Матрицы и определители
§1. Понятие матрицы. Действия с матрицами
Прямоугольной матрицей

размера m×n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей строк и столбцов.
Матрицу записывают в виде

Слайд 3

Любая матрица, имеющая одинаковое число строк и столбцов (m=n), называется квадратной

матрицей порядка n.
Её элементы a11, a22,…, ann составляют главную диагональ,
а элементы a1n, a2 n-1,…,an1 − побочную диагональ.
При m=n=1 матрица состоит из одного числа и отождествляется с ним.

Слайд 4

Важную роль в теории матриц играют следующие частные виды матриц:
матрица-столбец (матрица

размера m×1)
матрица-строка (матрица размера 1×n)
ступенчатая матрица

Слайд 5

треугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы выше (ниже)

главной диагонали равны нулю
диагональная матрица – квадратная матрица, в которой отличны от нуля только элементы главной диагонали

Слайд 6

cкалярная матрица – диагональная матрица, все элементы которой равны (a11=a22=…=ann=λ)
единичная матрица

– скалярная матрица при λ=1
нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.

Слайд 7

Действия с матрицами
1. Две матрицы A=(aij) и B=(bij) называются равными, если

они одного размера и соответствующие их элементы равны aij= bij (i=1,…,m; j=1,…,n).
2. Сумма A+B матриц A и B одного размера m×n есть матрица C того же размера, где cij=aij+bij.
Свойства:
A+B=B+A;
(A+B)+C=A+(B+C).

Слайд 8

3. Операция умножения матрицы на число: tA=At=(t aij).
Свойства операции:
t⋅(l⋅A)=(t⋅l)⋅A;
(t+l)⋅A=t⋅A+l⋅A;
t⋅(A+B)=t⋅A+t⋅B.

Слайд 9

Пример. Найти матрицу C=2A+4B, если

Слайд 10

4. Операция умножения матрицы Am×n на матрицу Bk×p определена только в

том случае, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, то есть n=k.
Определим первоначально умножение матрицы-строки на матрицу-столбец

Слайд 11

Тогда произведением матрицы A размера m×n со строками A1, A2,…, Am

на матрицу B размером n×p со столбцами B1, B2,…, Bp называется матрица размера m×p, элементы которой получаются следующим образом: каждая строка матрицы последовательно умножается на каждый столбец матрицы и записывается в i-ю строку и j-й столбец матрицы C, т.е. и

Слайд 12

Пример 1. Вычислить произведение матриц

Слайд 13

Пример 2. Вычислить значение многочлена
f(x)=3x2 −2x+5 от матрицы

Слайд 14

Свойства операции умножения матриц:

Слайд 15

5. Транспонированием матрицы называется операция замены строк матрицы её столбцами с

сохранением их номеров.
Например, если то
− транспонированная матрица.

Слайд 16

Свойства операции транспонирования:

Слайд 17

§2. Определители и их свойства
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц

и при n≥3 связано с понятием минора и алгебраического дополнения элемента матрицы А.
Минор Мij элемента aij матрицы A − определитель матрицы (n−1)-го порядка, полученной из данной вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называют число Aij=(−1)i+jMij

Слайд 18

Пример. Найти алгебраические дополнения матрицы третьего порядка.

Слайд 19

Тогда

Слайд 20

Определитель n-го порядка вводится по индукции аналогичным образом через определители (n−1)-го

порядка:
Краткая запись:

Слайд 21

Пример. Вычислить определитель матрицы

Слайд 22

Свойства определителей:
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: det AT=det

A.
При перестановке местами двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Определитель не изменится, если к некоторой строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число λ.

Слайд 23

Часто определители удобно вычислять, используя их свойства. Например, определитель удобно разлагать

по строке (столбцу), содержащей нули, использовать пропорциональность строк (столбцов) и т.д.
Пример. Вычислить определитель

Слайд 24

§3. Обратная матрица
Матрица B=A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если

A⋅A−1=A−1⋅A=E.
Замечание. Не для всякой матрицы существует обратная.
Например, пусть
Тогда
Матрица A не имеет обратной, так как A⋅A−1≠E.

Слайд 25

Если для матрицы A существует обратная A−1, то матрица называется обратимой

(или невырожденной).
В противном случае матрица называется вырожденной.
Свойства операции обратимости матрицы.
1. (A⋅B)−1=B−1⋅A−1.
2. (A−1)−1=A, так как А−1А=Е.
3. (АТ)−1=(А−1)Т, так как Е=ЕТ=(А⋅А−1)Т=(А−1)Т⋅АТ.
4. Если для матрицы существует обратная , то она единственна.
Теорема. Если определитель матрицы А равен нулю, то матрица А не имеет обратной.

Слайд 26

Теорема. Если определитель матрицы A отличен от нуля, то обратная матрица

A−1 существует и вычисляется по формуле
где Аij − алгебраическое дополнение элемента аij матрицы А.
Замечание. По этой формуле удобно вычислять обратную матрицу для матриц 2-го или 3-го порядка.

Слайд 27

Пример1. Найти обратную матрицу для

Слайд 28

Пример2. Найти обратную матрицу для

Слайд 29

Решение матричных уравнений
С помощью обратной матрицы можно решить матричное уравнение АХ

= В (или ХА = В).
Если матрица А невырожденная (detA≠0 ), то для нее существует обратная A−1.
Тогда, умножив уравнение АХ = В слева на A−1
(а уравнение ХА = В справа на A−1),
получим X = A−1B (X = BA−1).

Слайд 30

Пример 1. Решить матричное уравнение A X B = C, где

Слайд 31

Пример 2. Решить матричное уравнение

Слайд 32

Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
Рассмотрим следующие элементарные преобразования матрицы:
1) перестановка

строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Слайд 33

Для отыскания обратной матрицы A−1 следует:
1) построить расширенную матрицу (A|E), приписывая

к матрице A справа единичную матрицу;
2) используя элементарные преобразования строк расширенной матрицы, получить на месте матрицы A единичную матрицу E; тогда на месте единичной матрицы будет обратная матрица A−1.
Схема этого процесса: (A|E)~…~(E| A−1)

Слайд 34

Пример. Найти обратную матрицу A−1 для матрицы

Слайд 35

Решение матричного уравнения методом элементарных преобразований
Для решения уравнения вида АХ =

В следует:
1) построить расширенную матрицу (A|В);
2) используя элементарные преобразования строк расширенной матрицы, получить на месте матрицы A единичную матрицу E; тогда на месте матрицы В будет искомая матрица Х.
Схема этого процесса: (A|В)~…~(E| Х)

Слайд 36

Для решения уравнения вида ХА= В следует:
1) транспонировать исходное уравнение (ХА)Т=

ВТ,
тогда АТХТ= ВТ (получаем уравнение, соответствующее предыдущему случаю);
2) реализовать схему: (AТ| ВТ)~…~(E| ХТ);
3) найти решение: Х=(ХТ) Т.