Выпуклый анализ. Выпуклые функции.. Лекция 13

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

3.5. Критерии выпуклости гладких функций

3.5. Критерии выпуклости гладких функций.

Теорема 8. (Первый критерий выпуклости дифференцируемой

В результате получим (1)

Необходимость доказана.

Достаточность.

Положим

Из (1)

находим

и сложим их

Таким образом,

и теорема доказана.

Теорема 9. (Второй критерий выпуклости дифференцируемой функции).

необходимо и достаточно, чтобы

Достаточность.

Таким образом следует доказать. что

Для всех

последовательно вычисляем выражения

Тогда в силу (4) и (5) выводим

имеет место

Тогда в силу (4)

находим

Таким образом,

Обозначим

Заметим, что

При этом

Аналогично, обозначим

Заметим, что

Кроме того

При этом

Из (8)

в силу (9)

Тогда для этих точек выполнено условие (3)

имеем

Теорема доказана.

Следовательно

Теорема 10. (Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции).

то это условие является

Сокращая в неравенстве (11)

По доказанному выше будет выполняться

Необходимость доказана.

Достаточность.

найдется

Тогда из условия (10)

Где обозначено

Теорема доказана.

следовательно, она выпукла.

Пример 10.

Определить значения

По теореме 10 для ее выпуклости требуется положительность матрицы

Вычислим ее

Упражнение.

Решение.