Криволинейный интеграл II рода. Математический анализ
§10. Криволинейный интеграл II рода (по координатам) 1. Задача, приводящая к криволинейному интегралу II рода Пусть под действием силы F̄ = {P(x,y,z); Q(x,y,z); R(x,y,z)} точка перемещается по кривой (ℓ) из точки L1 в точку L2 . ЗАДАЧА: найти работу, которую совершает сила F̄. 1. Разобьем (ℓ) на n частей точками M0=L1, M1, …, Mn=L2. 2. Если (Δℓi) = (Mi–1Mi) – мала, то (Δℓi) можно считать отрезком, а F̄ – постоянной. Тогда работа силы по перемещению точки из Mi–1 в Mi равна Ai ≈ P(Ki) · Δxi + Q(Ki) · Δyi + R(Ki) · Δzi , где Ki – произвольная точка из (Δℓi), Тогда 2. Определение и свойства криволинейного
интеграла II рода Пусть (ℓ) = (L1L2) – простая (т.е. без кратных точек) спрям-
ляемая (т.е. имеющая длину) кривая в пространстве Oxyz, и на кривой (ℓ) задана функция P(x,y,z). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1. Разобьем кривую (ℓ) произвольным образом на n частей точками M0=L1, M1, …, Mn=L2 в направлении от L1 к L2. 2. Пусть Mi(xi; yi; zi). Обозначим Δxi = xi – xi–1 (т.е. проекцию ду-
ги (Mi –1Mi) на ось Ox) 3. На каждой дуге (Mi–1Mi) выберем произвольную точку Ki(ξi;ηiζi) и вычислим произведение P(Ki) · Δxi . Сумму назовем интегральной суммой для функции P(x,y,z) по кривой (ℓ) по переменой x (соответствующей данному разбиению кривой (ℓ) и данному выбору точек Ki).
