Презентации по Математике

Понятие терма, предиката A – «каждый человек смертен», B – «Сократ — человек», C – «Сократ смертен». Исходное умозаключение будет соответствовать формуле логики высказываний A ∧ B → C Приведем данную формулу к нормальной форме: A ∧ B → C = ¬ (A ∧ B) ∨ С = ¬А ∨ ¬В ∨ С Понятие предиката Определен некоторый предикат, если: Задано некоторое (произвольное) множество, называемое областью определения предиката (предметная область); Фиксировано множество {1, 0}, называемое областью значений; Указано правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из предметной области, ставится в соответствие один из двух элементов из области значений.

Основные понятия Граф G=(V,E) состоит из двух множеств: конечного множества элементов, называемых вершинами, и конечного множества элементов, называемых ребрами. Граф G=(V, E) V={v1, v2, v3, v4, v5} ; E={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} Основные понятия Вершины vi и vj, определяющие ребро ek, называются концевыми вершинами ребра ek. Ребра с одинаковыми концевыми вершинами называются параллельными (e1,e4 ). Петля– замкнутое ребро(e5). Ребро, принадлежащее вершине, называется инцидентным (ребро e1 инцидентно вершинам v1 и v2).

Дерево, лес Деревом называется связный неориентированный граф без циклов (ациклический), который содержит более двух вершин. Ациклический граф, который содержит несколько компонент связности (состоит из нескольких деревьев), называют лесом. ! ! Неориентированное дерево B A G I C E F H J K D Корнем неориентированного дерева называют вершину с минимальным порядковым номером. Если в дереве T корень задан (то есть оно изображено сверху вниз, и в нем есть самая верхняя вершина), то дерево T называют корневым. В неориентированном дереве, как и в произвольном графе, пара вершин соединяется ребром. ! ! !

Сравнение средних Самая первая и основная задача - сравнение средних для двух выборок. Например, рост в выборках «М» и «Ж»: Дальше надо предложить способ оценить вероятность ошибки I рода Кроме таблицы надо посмотреть все иллюстрации различий: Сравнение средних На прошлом занятии мы рассмотрели достаточно универсальный способ построения статистических критериев: Z – статистика, т.е. Есть надежда, что эта величина имеет нормальное распределение со средним 0 и дисперсией 1. Так оно и есть, но только при больших объемах выборок! , т.е. разность средних, деленная на стандартное отклонение этой разности.

Логическое отрицание (инверсия) Логическое отрицание образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что …». Например: Я не знаю китайского языка. Неверно, что я знаю китайский язык Обозначение инверсии: НЕ А; А; A; NOT A Таблица истинности для инверсии Из таблицы истинности следует, что инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно.

РЕБУСИ РЕБУСИ

Система координат (СК) Для перехода от зрительных геометрических образов к математическому описанию формы объектов и их взаимного расположения необходимо выполнить арифметизацию пространства Это достигается путем введением системы координат * Геометрические основы Системы координат Введение системы координат сводится к установлению способа сопоставления каждой точке пространства набора вещественных чисел – координат этой точки Точка пространства ? Набор вещественных чисел (координат точки) * Геометрические основы

Задача построения произвольных кривых Линия может быть задана в форме неявного уравнения или в параметрической форме Задача в этом случае сводится к нахождению соответствующих функциональных зависимостей Задача построения произвольных кривых Однако на практике линия обычно задается некоторым множеством точек и задача ее построения может быть сформулирована одним из двух способов: как задача интерполяции как задача аппроксимации

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ В трехмерном пространстве положение каждой точки задается набором из 3 вещественных чисел – координат точки Так же, как и в двумерном случае, самыми распространенными являются декартова и полярная системы координат Декартовы координаты точки x, y, z – это проекции точки на оси абсцисс (OX), ординат (OY) и аппликат (OZ) ДЕКАРТОВА СК

В истоках теории чисел как научной дисциплины выделяются исследования Евклида (3 век до н. э.), Диофанта (3 век н. э.), Ферма (1601-1665), Эйлера (1707-1783), сохранившиеся в письменном виде. Исторические источники подтверждают, что создателем теории чисел является Эйлер. При этом следует отметить, что несколько теорем из теории чисел (как правило без доказательств) были сформулированы до Эйлера. История теории чисел Каждое натуральное число, большее единицы, делится по крайней мере на два числа: на 1 и на само себя. Если число не имеет делителей, кроме самого себя и единицы, то оно называется простым, а если у числа есть еще делители, то составным. Единица же не считается ни простым числом, ни составным. Например, числа 7, 29— простые; числа 9, 15 — составные (9 делится на 3, 15 делится на 3 и на 5 ).

1. ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ Кривые поверхности Кривой поверхностью называется геометрическое место (множество) последовательных положений линии, движущейся в пространстве Всякую поверхность можно рассматривать как образованную движением линии l. При перемещении линии l каждая ее точка А, В, С, … опишет в пространстве некоторую линию m , m1 , m2 , ... Линия l , образующая поверхность, называется образующей, а линия m , по которой передвигается образующая, - направляющей. Совокупность элементов поверхности, выделяющих данную поверхность из всего класса поверхностей, к которому она принадлежит, называется определителем поверхности. Например, для конуса вращения с осью і и образующей прямой l определитель записывается так: Ф (і × l) Классификация кривых поверхностей. Основой деления кривых поверхностей на классы являются общие для них признаки и свойства. По виду образующей: Прямолинейчатые – образующая – прямая линия. Цилиндрические и конические поверхности, винтовые и др. Криволинейчатые – образующая – кривая линия. Сфера, кольца и пр. По развертыванию: Развертываемые – поверхности, которые могут быть точно развернуты в плоскость (конические, цилиндрические поверхности и поверхности с ребром возврата). Неразвертываемые – поверхности, которые приближенно можно развернуть в плоскость (сферические поверхности, косые плоскости) и др. Существуют три способа задания кривых поверхностей: Аналитический – при помощи уравнений; 2. Каркасный – поверхность задается сетью линий (линейчатый каркас) или множеством точек (точечный каркас); 3. Кинематический, т. е. перемещением линий в пространстве.

ЗМІСТ Рівномірний розподіл Нормальний розподіл (розподіл Гаусса) Розподіл “х - квадрат” Розподіл Стьюдента Рівномірний розподіл Рівномірний розподіл. Розподіл ймовірностей називають рівномірним, якщо на проміжку (а,в), до якого належать всі можливі значення випадкової величини Х, щільність розподілу має постійне значення с, тобто:

Декартовы прямоугольные координаты. Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY, OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. Ось OX называется осью абсцисс (или просто абсциссой), ось OY – осью ординат (ординатой), ось OZ – осью аппликат (аппликатой). рис. 1.

Многогранник — поверхность, составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхностью. На многогранную поверхность обычно накладывают такие ограничения: 1)каждое ребро должно являться общей стороной двух, и только двух, граней, называемых сложными; 2)каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней; 3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол. Что такое многогранник? Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

Лекция 3. Приближение функций . Основные теоретические сведения Информация относительно аппроксимируемой функции Класс аппроксимирующих функций Выбор критерия согласия Вопросы для самопроверки Основные теоретические сведения 1. Постановка задачи о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией так, чтобы отклонение (в некотором смысле) в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей. В процессе численной реализации этого подхода необходимо рассмотреть следующие четыре основных вопроса: 1. об имеющейся информации относительно функции , т.е. о виде, в котором задана функция ; 2. о классе аппроксимирующих функций, т.е. о том, какими функциями будет аппроксимирована функция ; 3. о близости аппроксимируемой и аппроксимирующей функций, т. е. о выборе критерия согласия, которому должна удовлетворять функция ; 4. о погрешности, т.е. об определении разности между точным и приближенным значениями.

План урока Устный счёт под диктовку В качестве разминки реши на отдельном листке примеры, которые тебе продиктует учитель. Запиши своё имя и фамилию на листке. Пронумеруй 15 пунктов. Время на выполнение задания t=10 минут + 5 минут на проверку. Если остаётся время, перепроверь. Правильные ответы помечай «+». Посчитай сколько «+» ты набрал. План занятия

План урока Устный счёт под диктовку В качестве разминки реши на отдельном листке примеры, которые тебе продиктует учитель. Запиши своё имя и фамилию на листке. Пронумеруй 20 пунктов. Время на выполнение задания t=10 минут + 5 минут на проверку. Если остаётся время, перепроверь. Правильные ответы помечай «+». Посчитай сколько «+» ты набрал.

Определения Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом фиксированном t = ti является СВ X(ti) Реализацией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция х(t), в которую превращается случайный процесс X(t) в результате опыта Сечение случайного процесса (случайной функции) – это случайная величина X(ti) при t = ti. Классификация случайных процессов Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным временем, если система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты t1, t2, t3….. tn, число которых конечно или счетно Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент времени t наблюдаемого периода Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным состоянием, если его сечение в любой момент t представляет собой не дискретную, а непрерывную величину Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным состоянием, если в любой момент времени t множество его состояний конечно или счетно, то есть, если его сечение в любой момент t характеризуется дискретной случайной величиной

Последовательность расчетов графоаналитическим методом, основанным на кривой Пирсона III типа Дано: Ряд наблюдений за СВ Требуется: Оценить параметры распределения – хср., σx*, Cv,* Cs*  Последовательность расчетов Ряд наблюдений ранжируется в убывающем порядке По формуле pm = (m/(n + 1))100%, где m - порядковый номер, а n – число наблюдений, рассчитываются ординаты эмпирической кривой обеспеченности На клетчатку вероятности наносятся точки эмпирической кривой распределения. При этом по оси ординат откладываются значения самой СВ, а не модульные коэффициенты. По точкам проводится сглаженная кривая. Последовательность расчетов графоаналитическим методом, основанным на кривой Пирсона III типа 4. По сглаженной кривой определяются три опорные ординаты для обеспеченностей – 5, 50, 95%, т.е. х5, х50, х95 Это позволяет составить уравнения для оценки параметров (хср., σx*,Cv,* Cs*) по формуле хр = tp σp + mx Итак, можно записать, что х5 = t5 σx* + хср. х50 = t50 σx* + хср. х95 = t95 σx* + хср. Здесь t5, t50, t95 – нормированные ординаты кривой обеспеченностей Пирсона III типа, которые определяются по таблице

Основные задачи и темы курса Цели и задачи курса «Математические методы обработки гидрологической информации» Случайные величины и функции распределения Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии Построение кривых обеспеченностей и оценка параметров распределения по эмпирическим данным Интервальное оценивание параметров и проверка статистических гипотез Статистический анализ зависимостей между гидрологическими переменными Случайные процессы Случайные величины Большое число факторов, влияющих на гидрологические характеристики – одно из обоснований для обработки гидрологических данных с использованием аппарата теории вероятностей Случайная величина (СВ) – это величина, значение которой меняется от опыта к опыту Неслучайные или детерминированные величины - это величины, значения которых от опыта к опыту не меняются

Последовательность расчетов графоаналитическим методом, основанным на кривой Пирсона III типа Дано: Ряд расходов воды Требуется: Оценить параметры распределения – Qср., σx*, Cv,* Cs*  Последовательность расчетов Ряд наблюдений ранжируется в убывающем порядке По формуле pm = (m/(n + 1))100%, где m - порядковый номер, а n – число наблюдений, рассчитываются ординаты эмпирической кривой обеспеченности На клетчатку вероятности наносятся точки эмпирической кривой распределения. При этом по оси ординат откладываются значения самой СВ, а не модульные коэффициенты. По точкам проводится сглаженная кривая. Последовательность расчетов графоаналитическим методом, основанным на кривой Пирсона III типа 4. По сглаженной кривой определяются три опорные ординаты для обеспеченностей – 5, 50, 95%, т.е. Q5, Q50, Q95 5. Рассчитывается коэффициент скошенности S   S = (Q5 + Q95 – 2Q50)/(Q5 – Q95)   6. Зная S и р по таблице нормированных ординат для кривой Пирсона III типа находятся значения коэффициента асимметрии Cs*. Т.о., находится первая оценка параметра распределения 7. Зная S и р по таблице нормированных ординат для кривой Пирсона III типа находятся также t5, t50, t95

Функция Это закон (способ, правило)с помощью которого для каждого значения Х можно найти соответсвующее значение Y y=f(x) Или: Пусть дано некоторое множество чисел Х и пусть в силу некоторого вполне определенного закона каждому числу х из множества Х ставится в соответствие вполне определенное число Y, тогда говорят, что на X задана функция y=f(x) Множество Х - это область определения функции D(f) Множество Y - это область значений или изменений функции E(f)

Лекция 3.1. Криволинейные интегралы.   Лекция 3.1. Криволинейные интегралы.