Частные производные различных порядков. Производная сложной функции. (Семинар 23)
Предположим, что в уравнении z=F(u,v) (1) u,v - функции независимых переменных x,y: (2). В этом случае z есть сложная функция от аргументов x,y. Если в общем случае z можно выразить через x,y непосредственно, а именно: (3), то частные производные находятся непосредственно. Предположим, что имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Необходимо вычислить исходя из уравнений (1),(2), не пользуясь уравнением (3). Даем аргументу x приращение , оставляя y неизменной, тогда u,v получают приращения . Но если u,v получают приращения , то и функция z=F(u,v) получит приращение , определяемое следующей формулой: Разделим обе части равенства на : Если (в силу непрерывности функций u,v), то . Переходя к пределу при получим . Следовательно (4) аналогично (4’) Полная производная. Если задана функция z=F(x,y,u,v), где y,u,v - в свою очередь зависят от одного аргумента x , то по сути z - функция от одного аргумента. Тогда можно рассмотреть вопрос о нахождении Эта производная вычисляется по формуле Но так как y,u,v – функции только одного переменного x, то частные производные обращаются в обыкновенные, и кроме того , поэтому . Это формула для вычисления полной производной
