Численное решение нелинейных уравнений
В тех случаях, когда уравнение (1.1) достаточно сложно, его корни найти точно, как правило, не удается (аналитического выражения для корней не существует). Кроме того, в инженерной практике обычно имеют дело с уравнениями, коэффициенты в которых известны лишь приблизительно, отсюда возникает задача приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности, иначе говоря, погрешности решения уравнения. Для решения такой задачи и используют численные методы. Численное решение уравнения (1.1) состоит из двух этапов: • отделения корня, т. е. установления возможно малого промежутка [a, b], в котором содержится один (и только один) корень уравнения; • уточнения корня, т. е. нахождения значения корня в промежутке [a, b] с заданной точностью (допустимой погрешностью). 4 Таким образом, вопросы, на которые необходимо ответить при численном решении уравнения (1.1) могут быть сформулированы следующим образом: 1. Имеет ли уравнение (1.1) на отрезке [a, b] хотя бы один вещественный (не мнимый или комплексный) корень? 2. Является ли этот корень единственным? 3. Каково значение этого корня, отличающееся от точного не более чем на некоторую малую величину ε (эпсилон), т. е. каково значение x, для которого выполняется условие ⎟ x−ξ⎟ ≤ ε? Ответы на первые два вопроса достигаются в ходе отделения корней уравнения, а на последний − при уточнении корня. 1.2. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ Из математического анализа известна следующая теорема: если непрерывная функция f (x) на концах отрезка [a, b] принимает значения разных знаков, т. е. f (a)⋅f (b)
