Элементы теории погрешностей
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Существуют четыре источника погрешности результата: 1. Погрешность математической модели (возникает из-за стремления обеспечить сравнительную простоту её технической реализации и доступности исследования) 2. Погрешность исходных данных (неустранимая с точки зрения вычислительного эксперимента, погрешность, но эту погрешность возможно оценить для выбора алгоритма расчета и точности вычислений. Как известно, ошибки эксперимента условно делят на систематические, случайные и грубые, а идентификация таких ошибок возможна при статистическом анализа результатов эксперимента). 3. Погрешность численного метода (связана, например, с заменой интеграла суммой, с усечением рядов при вычислении функций, с интерполированием табличных значений функциональных зависимостей и т.п. Как правило, погрешность численного метода регулируема и может быть уменьшена до любого разумного значения путём изменения алгоритма вычислений или параметра) 4. Вычислительная погрешность (погрешность округления) (возникает из-за округления чисел, промежуточных и окончательных результатов счета. Она зависит от правил и необходимости округления, а также от алгоритмов численного решения). ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Пусть имеется реальный маятник, совершающий затухающие колебания, начинающий движение в момент t = t0. Требуется найти угол отклонения φ от вертикали в момент t1. Движение маятника описывается дифференциальным уравнением: где l – длина маятника, g – ускорение силы тяжести, μ – коэффициент трения. Как только принимается такое описание задачи, решение уже приобретает неустранимую погрешность, в частности потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно (погрешность модели). Кроме того, воспроизведя реальный эксперимент, мы зададим g (в известной точке планеты), μ с некоторой точностью, и получим набор значений с погрешностью, которую можем оценить из анализа статистики некоторого числа однотипных опытов (погрешность исходных данных). Взятое в модели дифференциальное уравнение нельзя решить в явном виде, для его решения требуется применить какой-либо численный метод, имеющий заранее известную погрешность. После совершения вычислений мы получим значения с погрешностью большей, нежели погрешность метода, так как к ней прибавится погрешность округления.
