Презентации по Математике

Класс чисел Целые числа, сравнимые с a по модулю m (m ϵ N, m>1) образуют класс чисел по модулю m и он обозначается Любое число класса называется вычетом этого класса по модулю m Например Свойства классов вычетов Если два класса имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают По модулю m существует ровно m классов вычетов

Числовые сравнения. Понятие сравнения Определение 1 Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность a - b делится на m Обозначение: Примеры Теорема 1 Следующие утверждения равносильные: (1) (2) существует t ϵ Z ,что (3) a и b при делении на m дают одинаковые остатки (т.е. a и b равноостаточны)

Количество натуральных делителей числа Теорема Пусть - каноническое разложение натурального числа n (n>1) Количество натуральных делителей числа n равно τ(n) = (α1 +1)(α2 +1)…(αs +1) Пример τ(60)= τ(2²∙3∙5)=(2+1)(1+1)(1+1)=12 Сумма натуральных делителей числа Теорема Если - каноническое разложение натурального числа n (n>1), то сумма всех натуральных делителей числа n равна

Определение 1 Натуральное число p называется простым, если p>1 и p не имеет натуральных делителей, отличных от 1 и p Определение 2 Натуральное число n>1 называется составным, если n имеет по крайней мере один натуральный делитель, отличный от 1 и n Примеры 2, 3, 5, 7 – простые числа 6, 8, 10, 15 – составные

Задача 1 Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой квадратной формы. Сколько плиток понадобится для камина размером 195ˣ156 см. Каковы наибольшие размеры плитки? Решение: 195∙156=30420 (см²) – S поверхности камина НОД (195 и 156)=39 (см) – сторона плитки 39 ∙39=1521 (см²) – S одной плитки 30420:1521=20 (штук) Ответ: 20 плиток размером 39ˣ39 см. НОД Определение 1. Число d называется общим делителем чисел a1, a2,…, an, если a1⁞d, a2⁞d,…, an⁞d Определение 2. Наибольшим общим делителем целых чисел a1, a2,…, an называется такой их общий натуральный делитель, который делится на любой их общих делитель Обозначают: d=(a1, a2,…, an) d=(a1, a2,…, an), если d ϵ N d – общий делитель чисел a1, a2,…, an если с – общий делитель чисел a1, a2,…,an, то d⁞c Примеры (16, 30, 12)=2 (21, 15, 48)=3

Теория чисел: наука о числовых системах изучает числа с точки зрения их строения и внутренних связей, рассматривает возможности представления чисел через другие, более простые арифметика или высшая арифметика (arithmetike от arithmos – «число», и techne – «наука») Пифагорейские числа Совершенные, недостаточные и избыточные числа: недостаточные числа – те, сумма собственных делителей которых меньше самого числа (собственный делитель числа – это другое число, на которое исходное число делится нацело, включая единицу и исключая само число); избыточные числа – те, сумма собственных делителей которых больше самого числа; совершенные числа равны сумме всех своих собственных делителей Дружественные числа: два таких числа, каждое из которых равно сумме делителей другого. Пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел: 220 и 284 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (сумма делителей числа 220). 220=1+2+4+71+142 (сумма делителей числа 284).

Білімділік: Оқушылардың пәнге деген қызығушылығын арттыру мақсатында, арифметикалық прогрессияның n - ші мүшесінің формуласын пайдаланып есептер шығару. Дамытушылық: ойлау, есте сақтау, дайын формулаларды пайдаланып есептер шығара алу, баяндау тәсілін пайдаланып есептер шығару қабілеттерін дамыту, Тәрбиелілік: Адамгершілікке, достық көмек көрсете білуге тәрбиелеу. Сабақтың мақсаты: Оқушыларды түгендеп, сабаққа ынтасын арттыру; Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру 2.Үй тапсырмасы 3.Жаңа сабақ 5.Оқулықпен жұмыс 7.Қорытындылау 8.Бағалау 9.Үй тапсырмасы 4.Жаңа сабақты бекіту 6.Тест тапсырмасы Математикалық диктант;

Вопросы: 4.1. Спецификация уравнения регрессии и ошибки спецификации. 4.2. Мультиколлинеарность: способы выявления и устранения 4.3. Фиктивные переменные в регрессионных моделях. 4.4. Гетероскедастичность 4.5. Автокорреляция Модель множественной линейной регрессии в матричном виде

y x -1 0 1 2 у = х-4 у = х-2 у = х-6

5.7 Постановка задачи наблюдения состояния ДС 5.7.1 Общая математическая постановка проблемы наблюдения состояния динамической системы Проблема наблюдения состояния динамической системы является одной из четырех фундаментальных проблем системных исследований. Динамическая система в канонической форме задается общим выражением переходное отображение: выходное отображение: при рассмотрении проблемы наблюдения выходное отображение называется также уравнением измерителя. Композиция выходного и переходного отображений определяет терминальное отображение: которое определяет некоторый оператор с параметром τ: 2 Пусть в конкретном опыте средой реализовано некоторое конкретное допустимое возмущающее воздействие в результате чего зафиксирована соответствующая реакция: Дано: – динамическая система Σ ; – управляющее воздействие – характеристика возмущающей среды (типа α, β, γ или δ); – множество моментов времени наблюдения – некоторый момент времени Определить: по заданному фрагменту соответствующей реакции системы определить ее состояние в момент времени Отсюда следует, что решить проблему наблюдения – значит найти решение относительно следующего операторного уравнения: (*) правая часть которого представляет собой измеренные значения реакции системы на соответствующем интервале времени. В левой части этого уравнения – неизвестное возмущающее воздействие, относительно которого известно только, что оно принадлежит классу допустимых возмущений V и формируется средой в соответствии с типом среды (α, β, γ , δ,). 3

Бесплатный аналог MathCad Веб-сервис http://smath.info/cloud/ Тема 1. Задачи элементарной математики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Введение в анализ Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Неопределенный интеграл Определенный интеграл Дифференциальные уравнения Числовые и функциональные ряды Бер Л.М. Введение в анализ. ТПУ Рег. № 282 от 25.11.2009 ЛИТЕРАТУРА ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1985. – 368 с. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1,2. – М.: ИНТЕГРАЛ-ПРЕСС, 1997. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1., Т. 2. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – СПб.: Издательство «Лань», 2006. – 608 с. Бер Л.М. Введение в анализ. ТПУ Рег. № 282 от 25.11.2009

ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА R ∪ {+∞, –∞} = Пусть ε > 0. Тогда U(+∞,ε) = (1/ε; +∞) ∪ {+∞} = {x∈ : x > 1/ε }; U(–∞,ε) = (–∞; –1/ε) ∪ {–∞} = {x∈ : x < – 1/ε }; U(∞,ε) = (–∞; –1/ε) ∪ (1/ε; +∞)∪{∞} = {x∈ : |x|> 1/ε }. Бер Л.М Введение в анализ ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009 АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА   Бер Л.М Введение в анализ ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009

Виды треугольников (по углам)‏ остроугольный прямоугольный тупоугольный А В С М Р К Н О Т Виды треугольников (по сторонам)‏ равносторонний равнобедренный разносторонний А В С М Р К Н О Т

Признаки равенства треугольников Первый признак равенства треугольников (По двум сторонам и углу между ними )‏ А В С Р К М Признаки равенства треугольников Признаки равенства треугольников ( по стороне и двум прилежащим к ней углам )‏ А В С К Р Второй признак равенства треугольников

Признаки равенства треугольников Первый признак равенства треугольников (По двум сторонам и углу между ними )‏ А В С Р К М Признаки равенства треугольников Признаки равенства треугольников ( по стороне и двум прилежащим к ней углам )‏ А В С К Р Второй признак равенства треугольников

Виды треугольников (по углам)‏ остроугольный прямоугольный тупоугольный А В С М Р К Н О Т Виды треугольников (по сторонам)‏ равносторонний равнобедренный разносторонний А В С М Р К Н О Т

Бер Л.М Введение в анализ ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009 КРИТЕРИЙ КОШИ Теорема 10 (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность {xn} сходилась к конечному пределу, необходимо и достаточно, чтобы . Последовательность, удовлетворяющая этому условию называется «фундаментальной последовательностью» или последовательностью, «сходящейся в себе». Бер Л.М. Введение в анализ ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009 Функции Определение. Если каждому элементу х из множества X по определённому правилу или закону f ставится в соответствие один элемент у из множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция f. Обозначение: f : X → Y или у = f(x). Способы задания функции: словесный, аналитический, табличный, графический. Определение. Пусть функция y = f(x) определена на множестве X, а функция z = ϕ(y) определена на множестве Y, причём область значений функции f содержится в области определения функцииϕ. Функция z =ϕ(f(x)) называется сложной функцией, или функцией от функции, или суперпозицией функций y = f(x) и z = ϕ(y). Обозначение: ϕ ° f, или ϕ (f) = ϕ (f (x)), ϕ - внешняя, f – внутренняя функция.

Бер Л.М. Введение в анализ ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009 f(x) называется б. м. f(x) называется б. б. f(x) называется б. б. ∀ε>0, ∃ δ>0, | ∀x 0< | х – x0| |f(x) – A|0, ∃ δ>0, | ∀x 0< | х – x0| |f(x)|0, ∃ δ>0, | ∀x | х| >1/δ =C =>|f(x) – A|

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Сумма углов правильного n-угольника Угол правильного n-угольника

Корреляционный анализ – это проверка гипотез о связях между переменными с использованием коэффициентов корреляции. Корреляционный анализ H0 : взаимосвязь между данными переменными приближается к нулю; H1 : взаимосвязь между данными переменными значимо отличается от нуля. Гипотезы

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. α А С В п е р п е н д и к у л я р н а к л о н н а я п р о е к ц я прямая, проведенная через основание наклонной 1) 2) 3) АС ⊥ α m BС ⊥ m АB ⊥ m по ТТП Два перпендикуляра есть устанавливаем третий 1) Найти перпендикуляр к плоскости Теорема обратная теореме о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. α А С В п е р п е н д и к у л я р н а к л о н н а я п р о е к ц я прямая, проведенная через основание наклонной 1) 2) 3) АС ⊥ α m АB ⊥ m BС ⊥ m по ™ обратной ТТП Два перпендикуляра есть устанавливаем третий 1) Найти перпендикуляр к плоскости

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. a Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. b Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к этим прямым, называется их общим перпендикуляром. На рисунке АВ – общий перпендикуляр.

Тема 2. Корреляция. Парная регрессия. Функциональные и корреляционные типы связей. Ковариация, корреляция. Анализ линейной статистической связи экономических данных, корреляция; вычисление коэффициентов корреляции, проверка значимости. Измерение тесноты связи между показателями. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Понятия регрессионного анализа: зависимые и независимые переменные. Предпосылки применения метода наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок метода наименьших квадратов (МНК). Линейная модель парной регрессии. Оценка параметров модели с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Показатели качества регрессии модели парной регрессии. Анализ статистической значимости параметров модели парной регрессии. Интервальная оценка параметров модели парной регрессии. Проверка выполнения предпосылок МНК. Интервалы прогноза по линейному уравнению парной регрессии.(Прогнозирование с применением уравнения регрессии). Понятие и причины гетероскедастичности. Последствия гетероскедастичности. Обнаружение гетероскедастичности. Нелинейная регрессия. Нелинейные модели и их линеаризация. Функциональные и корреляционные типы связей Рассматривая зависимости между признаками, выделяют две категории зависимости: 1) функциональные и 2) корреляционные. Зависимость величины Y от Х называется функциональной, если каждому значению величины Х соответствует единственное значение величины У. Корреляционная связь - это связь, где воздействие отдельных факторов проявляется только как тенденция (в среднем) при массовом наблюдении фактических данных.