Введение в математический анализ
Функцией называется правило, по которому каждому элементу X некоторого множества K соответствует единственный элемент Y другого множества L. Графиком функции y=f(x) называется множество точек плоскости XOY для каждой из которых абсцисса X является значением аргумента, а ордината Y – соответствующим значениям данной функции. Способы задания функции: 1)аналитическая (формула) 2)табличный 3) графический Основные элементарные функции 1)Y=const 2)y=xα , α-действительное, α≠0 3) y=ax (a>0, a≠1) 4)y= logA x (a>0, a≠1) Тригонометрические 1)y=sin x 2) y=cos x 3) y=tg x 4) y=ctg x Обратные тригонометрические 1)y=arcsinx 2) y=arccosx 3) y=arctgx 4) y=arcctgx Функция y= f(ϕ(x)) называется сложной функцией или функцией от функции. Элементарной называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью действий «+», «−», «÷», «* » и операций взятия функции от функции, последовательно примененных конечное число раз. Окрестностью точки x0 на числовой прямой называется любой интервал (a;b), содержащий эту точку. Внешность любого интервала (a,b)называется окрестностью интервала бесконечности. Пусть X={x} произвольное множество действительных чисел. Множество X называется ограничением сверху, если сущ. действительное число такое, что любой x∈X, x≤M. Ограничение снизу, если существует m→ x≥m. Множество ограничений снизу и сверху называется ограниченным. Предел функции. Число b -предел функции при x→a, если для любого ε>0 сущ. точки a такая, что для всех x∈ выполняется неравенство ⎢f(x)-b ⎢< ε. Обозначается: Лемма: Функция y=f(x), имеющая конечный предел при x→a, ограничена в некоторой окрестности. Обратное не верно. Теорема: Пусть сущ. предел и m≤f(x) ≤M в некоторой окрестности U,тогда m≤b ≤M.
