Презентации по Математике

Формулы сложения №1 Упростите выражение:

Лекция №15 Тригонометрические неравенства и методы их решения. Решение простейших тригонометрических неравенств. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в аргументе тригонометрической функции.

* Чтобы успешно решать простейшие тригонометрические уравнения необходимо следующее: 2) уметь определять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для точек числовой окружности; 4) знать понятие арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса и уметь отмечать их на числовой окружности. 1) уметь отмечать точки на числовой окружности; 3) знать свойства основных тригонометрических функций; Арксинусом числа а называют такое число из отрезка [- П/2; П/2], синус которого равен а. arcsin а П/2 - П/2 а arcsin (-a)=-arcsin a -а -arcsin а Арксинус и решение уравнений sin t=a.

Содержание Сведения из истории Понятие логарифма Свойства логарифмов Примеры Понятие функции у = у = logax Свойства логарифмической функции График логарифмической функции Свойства сравнения логарифмов Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства Сведения из истории . Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

Различают два класса данных методов: барьерные и штрафные. Барьерные - запрещено выходить за ОДЗ. Штрафные - позволяет периодически выходить за ОДЗ, но включают штрафные функции, которые возвращают в ОДЗ. Метод Франка-Вульфа (барьерный метод) (1) (2) (4) (3) ЗЛП: (4) Пусть точка – решение ЗЛП:

Постановка задачи выпуклого программирования 0 ≤ λ ≤ 1 0 ≤ λ ≤ 1 Область допустимых значений (2) обладает свойством регулярности, если найдется такой вектор , что все функции ЗНЛП называется задачей выпуклого программирования, если функция (1) либо выпуклая, либо вогнута, а все функции выпуклы. Теорема Любой локальный экстремум задачи выпуклого программирования является глобальным . Функцией Лагранжа L называется следующая функция:

Отличия от ЗЛП: 1. ОДЗ не обязательно выпуклая. 2. Экстремум не обязан находится на границе ОДЗ. - задача классической оптимизации Нелинейное программирование Пример:

Геометрический способ решения игры(2x2) Варианты решений: 1 уравнение 2 уравнение Геометрическое решение игры (2xN) и (Mx2)

Основные понятия теории матричных игр Теория игр – математическая теория конфликтных ситуаций, целью которой является выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта. Конфликтная ситуация – это столкновение интересов двух или более сторон. Игра – это математическая модель конфликтных ситуаций, а также система предварительно оговоренных правил и условий. Партией называется частичная реализация правил и условий игры. Результатом игры всегда является число v, которое называется выигрышем, проигрышем или ничьей. если υ > 0 – выигрыш если υ < 0 – проигрыш если υ = 0 – ничья Партии состоят из ходов. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают: личными – когда игрок сознательно выбирает и осуществляет тот или другой вариант действия (пример –– любой ход в шахматах); случайными – когда выбор осуществляется не волей игрока, а каким-то механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости). Игры бывают: парные – игра между двумя игроками; множественные – в них участники могут образовывать коалиции (постоянные или временные); кооперативные – играют более двух человек, которые образуют кооперации до конца игры; коалиционные – объединение, но не до конца игры; не коалиционные – с начала и до конца каждый играет сам за себя.

Пример: В результате может быть: Получено оптимальное решение, в котором все искусственные переменные равны нулю. Это и есть оптимальное решение задачи. 2. Получено оптимальное решение, в котором хотя бы одна искусственная переменная осталась в базисе. Это означает, что исходная задача не имеет решения, т.е. ОДЗ пустая. 3. В искусственной задаче видно, что целевая функция не ограничена на ОДЗ.

Правила построения двойственных задач: 1. Если в исходной задаче целевая функция исследуется на min, то в двойственной задаче она будет исследоваться на max и наоборот. 2. Если в исходной задаче n переменных и m уравнений, то в двойственной задаче будет m переменных и n уравнений. 3. Коэффициенты целевой функции исходной задачи становятся правыми частями ограничений двойственной задачи, а правые части системы ограничений исходной задачи становятся коэффициентами целевой функции исходной задачи. 4. Матрица ограничений двойственной задачи получается из матрицы ограничений исходной задачи транспонированием. 5. Если в исходной задаче то в двойственной задаче k-ое ограничение будет неравенством, если же в исходной задаче ; если же в исходной задаче l-ое ограничение - равенство, то в двойственной задаче нет ограничений на знак yi. не имело ограничений на знак, то k-ое ограничение в двойственной задаче будет равенством. 6. Если в исходной задаче l-ое ограничение - неравенство, то в двойственной задаче

Основные определения Точка А называется линейной выпуклой комбинацией точек если Множество называется выпуклым, если с любыми своими двумя точками оно содержит их произвольную линейную выпуклую комбинацию. выпуклое множество не выпуклое множество Граничной точкой множества называется точка, для которой верно: любой шар со сколь угодно малым радиусом содержит точки как принадлежащие, так и не принадлежащие множеству.

Основные понятия теории матричных игр Теория игр – математическая теория конфликтных ситуаций, целью которой является выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта. Конфликтная ситуация – это столкновение интересов двух или более сторон. Игра – это математическая модель конфликтных ситуаций, а также система предварительно оговоренных правил и условий. Партией называется частичная реализация правил и условий игры. Результатом игры всегда является число v, которое называется выигрышем, проигрышем или ничьей. если υ > 0 – выигрыш если υ < 0 – проигрыш если υ = 0 – ничья Партии состоят из ходов. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают: личными – когда игрок сознательно выбирает и осуществляет тот или другой вариант действия (пример –– любой ход в шахматах); случайными – когда выбор осуществляется не волей игрока, а каким-то механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости). Игры бывают: парные – игра между двумя игроками; множественные – в них участники могут образовывать коалиции (постоянные или временные); кооперативные – играют более двух человек, которые образуют кооперации до конца игры; коалиционные – объединение, но не до конца игры; не коалиционные – с начала и до конца каждый играет сам за себя.

… … … 3 5 6 1 2 4 7 8 9 10 2 + 4 = 3 + 4 = 8 – 3 = 9 – 6 = 7 – 4 = 5 6 8 7 6 5 4 3 2 3

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У.У. Сойер (английский математик XX века) Цель работы Изучить все существующие способы решения квадратного уравнения. Научиться использовать эти способы. Задачи Найти информацию о способах решения квадратного уравнения и изучить её.

Существуют проблемы при изучении стереометрии. Формальные знания по этому разделу школьной математики обнаруживаются у большинства учащихся: недостаточно сформированное пространственное представление учащихся, отсутствие умения выполнять проекционный чертёж и оперировать данными на нем. Изучение темы «Построение сечений многогранников» предполагает устойчивое развитие пространственного воображения учащихся необходимое для свободного овладения умением решать стереометрические задачи. Он знакомит учащихся с понятием поэтапного построения на проекционном чертеже. В школьном курсе стереометрии на тему: «Построение сечений» отводится всего два часа. Программа приведенного ниже элективного курса предполагает ознакомление с основными методами решения задач на построение сечений многогранников, применение которых способствует осознанию учащимися поэтапного построения сечения многогранника, формирует основы грамотного построения моделей многогранников, развивает пространственное представление и воображение учащихся. Данный курс призван помочь учителям средней школы в решении следующих образовательных задач: - обучение учащихся методам построения (изображения) пространственных фигур на плоскости; - обучение учащихся методам решения задач на построение сечений многогранников. Программа элективного курса для 10-го класса (I вариант)

Надо знать: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается; Если вписанный угол опирается на диаметр, то он прямой; В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Следствие из теоремы синусов

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Чтобы найти а% от в, надо в .0,01а. Пусть сумма кредита равна S , кредит взят под а % на определенный срок. Тогда, за этот срок, оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b=1+0,01а. После первой выплаты сумма выплаты составит S1=Sb-X. После второй выплаты сумма долга составит: S2 = S1b-X = (Sb-X)b-X = Sb2-(1+b)X и т.д. ЗАДАЧА №1. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 200 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая-31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Вектором называется направленный отрезок. Модулем вектора называется длина содержащего его отрезка. l AB l=AB Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной, либо на параллельных прямых. От любой точки можно отложить вектор равный данному , притом только один . g f M B Откладывание векторов от данной точки f = g

Длина окружности и площадь круга Геометрия Оглавление : §1. Правильные многоугольники Правильный многоугольник Окружность, описанная около правильного многоугольника Окружность вписанная в правильный многоугольник Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности Построение правильных многоугольников §2. Длина окружности и площадь круга Длина окружности Площадь круга Площадь кругового сектора

«Без движения — жизнь только летаргический сон». Жан Жак Руссо Параллельный перенос №1165