В математической околошкольной среде имеется, как шутя говорится, широко известный в узких кругах, математик Сергей Львович
1. Точка М взята на стороне АС правильного треугольника АВС, а на продолжении стороны ВС за вершину С отмечена точка N так, что ВМ=МN. Доказать, что АМ=СN. 2. В выпуклом четырёхугольнике АВСD ےА=ےD. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и СD пересекаются в точке Р, лежащей на стороне АD. Доказать, что диагонали АС и ВD равны. 3. В четырёхугольнике АВСД точка Е – середина стороны ВС, а Ф – середина стороны ДС. Отрезки АФ и АЕ пересекают диагональ ВД в точках К и М. Известно, что ДК=КМ=МВ. Доказать, что АВСД – параллелограмм. 4. Точки К и Н -- середины сторон АВ и СД четырёхугольника АВСД. Отрезки ВН и КС пересекаются в точке О. Точки пересечения прямых АО и ДО со стороной ВС делят отрезок ВС на три равные части. Доказать, что АВСД – параллелограмм. 5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки Д и Ф соответственно. Е – середина отрезка ДФ. Доказать, что АД+ФС≤АЕ+ЕС. 6. На плоскости даны ∆ АВС и точки Д и Е, такие, что ےАДВ=ےВЕС=90°. Доказать, что длина отрезка ДЕ не превосходит полупериметра ∆ АВС. 7. В выпуклом четырёхугольнике АВСД ےВАД+ےАДС=120° и АВ=ВС=СД. Доказать, что точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин А и Д. 8. ВД – биссектриса угла В треугольника АВС. Точка Е выбрана так, что ےЕАВ=ےАСВ, АЕ=ДС, и при этом отрезок ЕД пересекает отрезок АВ в точке К. Доказать, что КЕ=КД.
