Презентации по Математике

Основные задачи курса Основными задачами рассмотрения комбинации геометрических фигур в стереометрии являются: изучение пространственных форм, развитие пространственного воображения, развитие правильного логического мышления, развитие практических навыков, включая и умение решать различные геометрические задачи теоретического характера, и умение применять свои знания к решению вопросов практики. Основной задачей школьного курса стереометрии является развитие пространственного представления и логического мышления учащихся. В наибольшей степени эти задачи разрешаются при изучении многогранников, тел вращения и их комбинаций. Цели курса – создать целостное представление о теме «Комбинации многогранников и круглых тел» - собрать воедино основной теоретический материал и расширить спектр задач, направленных на развитие пространственных представлений учащихся. Задачи на комбинации стереометрических фигур могут быть использованы с целью глубокого усвоения теоретического материала, развития интереса к математике, приобщения к поисковой и творческой деятельности.

Введем на плоскости координаты х и у. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка (х; у) переходит в точку (х + а; у +  b), где а и b одни и те же для всех точек (х; у), называется параллельным переносом (рис. 199). Параллельный перенос задается формулами   x1 = x + а у1 = у + b Две произвольные точки А(х1; у1) и В (х2; у2) переходят при параллельном переносе в точки А1 (х1 +а; у1 + b), В1 (х2 + а; y2+b). Поэтому АВ2=(х2-х1)2+ (у2-у1 )2 A1B12=(х2-х1)2+ (у2-у1 )2 Отсюда АВ=А1В1. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать. Свойства параллельного переноса

ЛЕКЦИЯ 6. МНОЖЕСТВА Множества: определение и основные свойства Множество (по Тьюрингу) – это объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью. Множество (по Кантору) – это совокупность объектов безразлично какой природы, неизвестно существующих ли, рассматриваемая как единое целое.

— действительная часть комплексного числа; — мнимая часть комплексного числа. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Замечание 2. Для комплексных чисел не вводятся понятия «больше» и «меньше». — число, комплексно сопряженное к Свойства

Введение Однажды Альберта Эйнштейна спросили: “Как делаются открытия?” Эйнштейн ответил: “А так: все знают, что вот этого нельзя. И вдруг появляется такой человек, который не знает, что этого нельзя. Он и делает открытие”. Конечно, это была шутка. Может быть, он намекал и на собственное открытие более правильной и точной картины мироздания, изложенное им в знаменитой теории относительности. Введение Чем чаще наука прибегает к языку математики, тем больше она эволюционирует, тем более глубокие связи и отношения она сможет изучить.

Формулы исчисления высказываний Рассмотрим понятие переменной – a, b, c,… x, y,… Будем строить формулы, последовательно вводя операции над константами И и Л и переменными: Атомарная формула x, И, Л Отрицание (¬F), где F - формула Конъюнкция (F1 ∧ F2), где F1, F2 - формулы Дизъюнкция (F1 ∨ F2), где F1, F2 - формулы Следование (F1 → F2), где F1, F2 - формулы Эквивалентность (F1 ≡ F2), где F1, F2 - формулы Учитывая приоритеты операций и их ассоциативность (слева направо), будем опускать «лишние» скобки. Примеры формул исчисления высказываний: a ∨ ¬a (a → b) → (a ∨ b) a ∧ ¬a a → b ≡ ¬a ∨ b Для заданной формулы F обозначим Var(F) множество входящих в формулу переменных. Интерпретация формулы – функция на Var(F) I : Var(F) → { И, Л } Если задана интерпретация, то можно вычислить значение формулы Val(F, I) ∈ { И, Л } Тавтология – формула, истинная в любой интерпретации: Val(F, I) = И для любой I Противоречие – формула, ложная в любой интерпретации: Val(F, I) = Л для любой I (1), (4) – примеры тавтологий; (3) – противоречие; (2) – ни тавтология, ни противоречие Логическое следствие и эквивалентность формул Говорят, что формула B является логическим следствием формулы A (запись: A ⇒ B), если в любой интерпретации, в которой истинна формула A, формула B также истинна. Например: a ⇒ a ∨ b a ∧ b ⇒ a → b Говорят, что формулы A и B эквивалентны, если A ⇒ B и B ⇒ A (запись: A ⇔ B ). Можно еще сказать, что две формулы эквивалентны, если они в любой интерпретации одновременно истинны или одновременно ложны. Например: a ∧ a ⇔ a ∨ a ¬a ∨ b ⇔ a → b Три теоремы: Теорема 1 (связь между логическим следствием и операцией логического следования): A ⇒ B тогда и только тогда, когда формула A → B – тавтология. Теорема 2 (связь между эквивалентностью формул и операцией логической эквивалентности): A ⇔ B тогда и только тогда, когда формула A ≡ B – тавтология. Теорема 3 (о подстановке): если в некоторой формуле подставить вместо некоторой подформулы эквивалентную ей подформулу, то получившаяся формула будет эквивалентна исходной. Доказательство всех трех теорем очевидно.

В широком смысле слова алгоритм– это текст, который в определенных обстоятельствах может привести к однозначному развитию событий– процессу выполнения алгоритма. Каждый алгоритм служит для решения некоторого класса задач. Задачи должны быть записаны на некотором языке. Результат применения алгоритма– решение задачи– также должен быть записан на вполне определенном языке. Таким образом, в процессе выполнения алгоритма текст задачи преобразуется в текст ее решения.

Понятие графа Линейность является характерной чертой большинства современных естественных и искусственных языков. Линейное представление информации(в виде последовательности символов) не является естественным с точки зрения человеческого восприятия. Использование нелинейных форм во многих случаях существенно облегчает понимание. В математике главным средством нелинейного представления информации служат чертежи. В разных задачах удобно использовать чертежи разных типов. Соответственно определенные вариации допускает и определение графа. Неотъемлемыми атрибутами графов (при всем разнообразии определений) являются вершины и соединяющие их ребра или дуги.

x y H B Площина дії повного моменту M α Визначимо положення нульової лінії – геометричного місця точок, у яких напруження рівні нулю, прирівнявши вираз для визначення напружень до нуля: Рівняння нульової лінії являє собою рівняння прямої, що проходить через початок координат. При однакових Іх та Іу косий згин не спостерігається. Тангенс кута β нахилу нульової лінії дорівнює: Mx Mу M β α β n n При цьому знак “-” означає, що площина дії сили та нульова лінія завжди лежать в різних четвертях. Для балок, що працюють в основному на вертикальне навантаження, висоту перерізу приймають більшу ніж ширину. Тоді Ix > Iy і кут нахилу нульової лінії β більше кута нахилу повного згинального моменту α. Це означає, що повний прогин не збігається з площиною дії повного моменту. Звідси і походить назва косого згину. Для довідки. Навіть незначне відхилення від вертикалі навантаження або відхилення від вертикалі положення перерізу призводить до досить значного збільшення напружень в поперечному перерізі і деформацій (прогинів) таких балок. Наприклад, нехай відхилення від вертикалі поперечного перерізу балки двотаврового перерізу №20 з моментами опору Wx = 184 см3, Wy = 23.1 см3 та моментами інерції Ix = 1840 см4, Iy = 115 см4 складає всього 2о. Тоді максимальні напруження збільшуються на 27.7% від розрахункового значення (без відхилення по вертикалі), а максимальний прогин - на 14.5%. Запишемо умову міцності при косому згині: Винесемо 1/Wx за дужки: формула підбору поперечного перерізу при косому згині. Після підбору розмірів перерізу при косому згині перевірка умови міцності обов’язкова. Тут приймають: - для прямокутного перерізу; - для прокатних профілів. Підбір поперечного перерізу при косому згині.

Методи визначення центра ваги складних фігур 1. Метод розбиття – складна фігура розбивається на сукупність простих фігур, для яких відомі положення центра ваги або вони легко визначаються: 1 2 2. Метод від’ємних площ – так само, як і в методі розбиття, складна фігура розбивається на сукупність простих фігур, для яких відомі положення центра ваги або вони легко визначаються, але при наявності отворів або пустот зручно їх представлення у вигляді «від’ємних» областей. Наприклад, дану фігуру замість розбиття на 4 звичайних прямокутника, можна представити як сукупність двох прямокутників, один з яких має негативну площу: 1 2 Примітка. Оскільки координата, наприклад, x2, може бути негативна, то не слід представляти цей вираз з використанням різниць: 3. Метод симетрії – за наявності у фігури осі або площини симетрії, центр ваги лежить на цій осі або в цій площині. З урахуванням цієї властивості зменшується кількість координат центру ваги, що підлягають визначенню. 4. Метод інтегрування – за наявності у фігури досить простого контуру, що описується відомим рівнянням (коло, парабола тощо), вибирається елементарна площадка або смужка і виконується аналітичне інтегрування. При більш складному контурі, який може бути розбитий на більш прості граничні відрізки використовується попередньо метод розбиття. При складнощах з аналітичним інтегруванням використовуються чисельні методи інтегрування. 5. Метод підвішування – експериментальний метод, заснований на тому, що при підвішуванні тіла або фігури за яку-небудь довільну точку центр ваги знаходиться на одній вертикалі з точкою підвісу. Для визначення положення центра ваги плоскої фігури достатньо її підвісити по черзі за дві будь-які точки і прокреслити відповідні вертикалі, наприклад, за допомогою виска. Тоді точка на перетині цих прямих відповідає положенню центру ваги фігури.

Y=3 1)отмечать 3 на той оси, где написано y=3 2) график параллелен той оси, какой буквы в записи нет. (нет x, значит график ||ox) Нет у, значит параллелен оси 0у. y= kx +m Значение m показывает точку пересечения с осью oy m- «маятник показывает ,где прямая пересекает ось оу»

а А Н Определение: отрезок АН называется перпендикуляром, проведённым из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра. АН а А а; Н а Теорема: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один. 1) проведём луч ВА 2) построим 2 = 1 3) отложим отрезок ВМ, равный АВ, соединим А и М. 4)∆АВН = ∆МВН 3 = 4, 3 + 4 = 180о(смежные) 3 = 90о АН а А В М 1 2 Н 3 4 а

ПЛАН: Основные понятия. Формы записи. Действия над комплексными числами: Сложение комплексных чисел; Вычитание комплексных чисел; Умножение комплексных чисел; Деление комплексных чисел ; Возведение в n-степень; Извлечение корней из комплексных чисел. Основные понятия. Определение. Комплексным числом Ζ называется выражение вида , где α и β- действительные числа, а i - мнимая единица, и Например, Ζ1 = 6+2i или Ζ2 = 1-5i . Число α называется действительной частью комплексного числа и обозначается α=Re z, а β − мнимой частью и обозначается β=Im z.

Основные элементы комбинаторики. Размещение Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n. (Порядок важен). 2. Перестановки Если m = n, то эти размещения называются перестановками. Сочетания Это любое подмножество из m – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов. (Порядок не важен). Следствие. Число сочетаний из n элементов по n – m равно число сочетаний из n элементов по m, т.е. Задача.1. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр? Решение: . 2) Т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти: 3) . Основные элементы комбинаторики.

РЕБУС «СОБЫТИЕ» СОБЫТИЕ Под СОБЫТИЕМ понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. ПРИМЕР. Бросаем шестигранный игральный кубик. Определим события: А {выпало четное число очков}; В {выпало число очков, кратное 3}; С {выпало более 4 очкков}. ✔

Заполните таблицу: 6 6 8 1500 90 3 2 2 120 9 Практикум по решению задач. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой? Решение. Задача 1.

Основной вопрос: Как связано понятие вероятности с геометрией? Задачи: Провести серию опытов. Сформулировать геометрическое понятие вероятности. Изучить литературу по данному вопросу. Сделать выводы. Подтвердить или опровергнуть гипотезу. Составить задачи на нахождение вероятностей. Серия опытов. Серия опытов, приводящих к определению вероятности из геометрических соображений.

Поверхность, одно из основных геометрических понятий Поверхности составляют широкое многообразие нелинейных фигур трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчетом и, изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации конструирования, расчета и воспроизведения сложных технических поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей, начертательной геометрии составляют основу инструментальной базы трехмерного моделирования современных графических редакторов. Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между координатами  которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, можно выделить алгебраические поверхности (F(x,y,z)- многочлен n-ой степени) и трансцендентные (F(x,y,z)- трансцендентная функция). В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно поверхность рассматривать как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии.

Переріз Якщо площина перетинає многогранник, то її називають січною площиною. Фігура, яка складається з усіх точок, спільних для многогранника і січної площини, називається перерізом многогранника. Приклад    

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. или разделить Сокращение дроби Приведение дроби к новому знаменателю Умножение числителя и знаменателя на одно и тоже число, отличное от единицы, называют приведением дроби к новому знаменателю. А число, на которое умножается и числитель и знаменатель называют дополнительным множителем. 3 Приведение дроби к новому знаменателю

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. или разделить Сокращение дроби Приведение дроби к новому знаменателю Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби. Сокращение дроби 2 9

Оглавление: 1) Общие сведения 2) Симметрия куба 3) Симметрия прямоугольного параллелепипеда 4) Симметрия параллелепипеда 5) Симметрия прямой призмы 6) Симметрия правильной призмы 7) Симметрия правильной пирамиды ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Додекаэдр

Цель проекта: познакомиться с использованием в декоративном украшении различных геометрических узоров, развивать познавательный интерес Каждый из нас не один раз в день пользуется различной посудой: чашкой, блюдцем, тарелкой. Это любимая посуда моей мамы, из которой она пьет чай и кофе.

Тела вращения * Логинова Н.В. учитель математики МБОУ «СОШ № 16» г. Ижевска 9 класс Цилиндр. Конус. Сфера и шар. ЦИЛИНДР: от греческого «валик, каток» Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон. * Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»