Урок 6. Перколяционные процессы
При произвольной концентрации p ситуация зависит не только от величины p но и от выбора узла. Так при закачивании воды в узел B мы смочим четыре узла, при закачивания воды в узел A бесконечное число. Мы будем говорить о вероятности смочить бесконечное число узлов. Броадбэнт и Хаммерсли предположили, что имеется порог протекания , который является верхним пределом p, при которых число смоченных узлов конечно. То, что для бесконечной системы является нетривиальным. Действительно, в конечной системе размера L в вместо смачивания бесконечного числа узлов рассматривают случай, когда смочены узлы, находящиеся на противоположных границах системы. Конфигурация, когда все связи с открытыми вентилями выстроены в канал, связывающий противоположные стороны, соответствует . Т. е. Попробуем сформулировать изложенное на математическом языке. Различают два типа решеточных задач -- задача связей и задача узлов. Первая близка к тому, что мы только что рассматривали. При второй формулировке предполагается, что часть узлов занята (окрашена в черный цвет). В терминах задачи узлов два занятых узла называются связанными, если они являются ближайшими соседями или если они ближайшие соседи связанных узлов. Это рекурсивное определение вводит классы эквивалентности на решетке. Различные классы, порожденные этим соотношением, называются кластерами. Кластер может включать как конечное так и бесконечное число узлов. В последнем случае мы будем говорить о бесконечном кластере.
