Презентации по Математике

Множественная линейная корреляция На практике возможны случаи, когда СВ Y зависит сразу от ряда СВ X1, X2….Xn. Уравнение регрессии в этом случае будет иметь вид (y - yср.) = а1 (х1 – х1,ср.) + а2 (х2 – х2,ср.)+ …..аm(xm – xm, ср.) а1, а2…аm - коэффициенты регрессии; yср., х1,ср., х2,ср…. xm, ср. – средние значения соответственно предиктанта и предикторов; m – число предикторов Т.о., задача сводиться к определению значений а1, а2…аm. При небольшом числе предикторов, задачу можно решить методом Крамера. В этом случае нужно рассчитать главный определитель D Расчет главного определителя ri,j – парные коэффициенты корреляции. Например, r0,3 – коэффициент корреляции между предиктантом и третьим предиктором, r2,1 – коэффициент корреляции между вторым и первым предикторами. При этом ri,j = rj,i, а на главной диагонали r0,0 = r1,1 = r2,2 = …..rm,m = 1.

Интервальная оценка и оценка значимости параметров линейной регрессии для двух переменных В случае, если r не очень велико и длина выборок не превышает 40 лет, то распределение коэффициентов корреляции хорошо аппроксимируется нормальным законом со среднеквадратическим отклонением σ*r, доверительный интервал для истинного коэффициента корреляции можно представить в виде r* - t’1- ασr* ≤ r < r*+ t’1- ασr* где r* - выборочный коэффициент парной корреляции t’1-α – квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий двустороннему уровню значимости 2α Z – преобразование Фишера В случае, если значения r>0.4 и n

Статистический анализ зависимостей между гидрологическими переменными Задача: Найти вид зависимости y = f(x1, x2, …xk) где у - зависимая переменная (или предиктант) x1, x2, …xk – независимые переменные (предикторы) Допустим для простоты, что у зависит только от одного предиктора, т.е. y = f(x) и что зависимость y = f(x) является линейной Искомым уравнением регрессии в этом случае будет выражение yi = axi +b Метод наименьших квадратов Нужно определить такие значения параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений наблюденных значений уi от рассчитанных по вышеприведенной формуле будет иметь минимальное значение. Сумма квадратов отклонений равна Чтобы сумма стала минимальной частные производные по параметрам a и b должны равняться нулю.

Критерий согласия Критерии согласия – это статистики, которые позволяют проверить соответствие эмпирической и аналитической кривых распределения Последовательность проверки: - выдвигаются нулевая и альтернативная гипотезы - назначается уровень значимости - вычисляется эмпирическое значение тестовой статистики - по результатам расчетов принимается решение В качестве нулевой гипотезы принимается гипотеза о соответствие (согласии) аналитической и эмпирической функций распределения Степень согласия оценивается с помощью специальных статистик В гидрологической практике наиболее часто применяются критерий χ2 (Пирсона), критерий Колмогорова и критерий nω2 (Крамера – Мизеса – Смирнова). Критерий χ2 (Пирсона) Критерий χ2 был предложен в начале XX Карлом Пирсоном и в настоящее время является наиболее распространенным критерием согласия Последовательность применения: Область допустимых значений (ОДЗ) исследуемой СВ Х разбивается на k интервалов. Число интервалов можно рассчитать по формуле k ≈ 5lg (n) Интервалы по оси Х не будут равновеликими, но зато вероятность попадания значения СВ Х в любой интервал будет одинаковой p = 1/k Теоретическое число случаев попадания значения СВ Х в каждый интервал будет равно m = n/k (n – длина выборки) Расхождение между эмпирическими данными и аналитической функцией распределения определяется по тестовой статистике где р* и рi – соответственно эмпирическая и теоретическая вероятность попадания значения СВ в i – й интервал; n – длина выборки; k – число интервалов.

Определения Статистическая гипотеза – это предположение о каком-то свойстве генеральной совокупности Например, что mx генеральной совокупности равно какому–то числу Нулевая гипотеза – это когда предполагается, что среднее значение выборки x1, x2, x3….xn (если n большое) мало отличаться от mx генеральной совокупности Альтернативная гипотеза Н1 – это когда предполагается, что mx ≠ хср, mx > хср, mx < хср Критерий (тест) статистической гипотезы - это правило, позволяющее принять или отвергнуть гипотезу Статистики – это определенные функции g (x1, x2, x3….xn), используемые для выполнения теста Пример статистики Рассмотрим выборку с параметрами xср, Sx (СКО) Допустим, что mx = 12. Нулевая гипотеза (Н0). Разница (xср - mx) достаточно мала Эту разницу можно рассматривать в качестве анализируемой статистики Но на практике используют другую статистику t = (xср - mx)/(Sx/√n), так как соответствие с теоремой 2 прошлой лекции заранее известно, что это выражение подчиняется распределению Стьюдента На использовании этой статистики базируется критерий Стьюдента, который можно использовать для проверки нулевой гипотезы С этой целью для конкретной реализации рассчитывают эмпирическое значение статистики Стьюдента t*. Например, n=36, xср =11, Sx = 5, t* = 1.2. Величина t* является СВ и для выборок различной длины значение t* будет различным Область возможных значений (ОВЗ) этой статистики - вся числовая ось ОВЗ делиться на две области: - область принятия гипотезы критическая область Если t* попадает в область принятия гипотезы, то Н0 не опровергается, если в критическую область, то Н0 опровергается.

Три теоремы математической статистики Сначала рассмотрим три теоремы математической статистики. Их суть состоит в определении закона распределения для СВ, которая является функцией других СВ Распределение χ2 (Хи-квадрат) t - распределение (Стьюдента) F – распределение (Фишера) Распределение χ2 (Хи-квадрат) Теорема 1. Если Xi - независимые СВ, подчиняющиеся нормальному закону распределения и у которых mx равно нулю, а σx равно единице, то СВ подчиняется распределению χ2 (хи – квадрат) с ν степенями свободы. Распределение χ2 определяется одним параметром ν, который называется числом степеней свободы (значение ν равно числу независимых СВ под знаком суммы)

Определения Генеральная совокупность – это совокупность всех возможных значений СВ Выборка – это конечный набор значений СВ, полученный в результате наблюдений Репрезентативная выборка – это выборка, которая достаточно полно характеризует генеральную совокупность Задача статистических методов – определить свойства СВ в целом на основании анализа выборки Статистические оценки (mx*, σx*, Dx* и т.д.) – это числовые характеристики СВ, полученные по эмпирическим данным. Требования к свойствам статистических оценок  1. Оценка G* = f(x1, x2, x3,….,x) – неизвестного параметра G называется состоятельной, если по мере роста числа наблюдений n она стремиться к оцениваемому значению G, т.е. ε – сколь угодно малое число 2. Несмещенность. Оценка G* = f(x1, x2, x3,….,x) – неизвестного параметра G называется несмещенной, если при любом объеме выборки n результат ее осреднения по всем возможным выборкам данного объема приводит к точному (истинному) значению оцениваемого параметра, т.е., т.е. M[G*] = G Несмещенность означает отсутствие систематической погрешности при оценивании параметра 3. Эффективность. Оценка G* = f(x1, x2, x3,….,x) – называется эффективной, если среди всех оценок параметра G она обладает наименьшей мерой случайного разброса относительно истинного значения оцениваемого параметра, т.е. D[G*] = Dmin Эффективная оценка имеет минимальную случайную погрешность.

Распределение Пирсона (общее) Это одно - модальное распределение СВ с положительной асимметрией, которое описывается дифференциальным уравнением Пирсона в общем виде где Z – случайная величина, связанная с исходной СВ Х соотношение z= x/mx – 1 = k – 1 k – модульный коэффициент Y - ордината функции плотности вероятности CB Z a – расстояние от центра распределения (mx) до моды (МО) b0, b1, b2 – параметры, изменяя которые можно получить различные типы кривых распределения Распределение Пирсона III типа В практике гидрологических расчетов наибольшее распространение получила кривая Пирсона III типа, для которой b2 = 0, тогда уравнение Пирсона приобретает вид При введении дополнительных условий и после ряда преобразований, а также после перехода от СВ Z к модульным коэффициентам,

Степенные функции, их свойства и графики Цель урока: обобщить и систематизировать знания и умения по теме «Степенные функции, их свойства и графики»

1. Предел функции Приведены примеры решения следующих классов задач 1.1. Предел дробно-рациональной функции 1.2. Предел сложной функции 1.3. Второй замечательный предел 1.4. Первый замечательный предел 1. Предел функции. Теоретические сведения Предел – величина А, к которой сколь угодно близко стремится некоторый процесс. В математическом анализе это – предел функции в бесконечности, предел функции в точке. Основные обозначения: Предел функции в бесконечности или - Предел функции в точке х0 : - слева, левосторонний - справа, правосторонний Условие непрерывности функции в точке

Майер И.И. 2.1 Производная функции. Дифференциал Непрерывная функция y=f(x) задана графиком (рис.1) . Отметим на графике точки М0(х0,y0) (у=f(x0)) и М (х0+Δх) (f(x0+Δх)). Построим : прямую М0К, касательную к графику функции в точке М0(х0,y0) и прямую М0М, секущую, соединяющую точки М0 и М. Тангенс угла наклона секущей Если Δх→0, то и Δу→0. При этом секущая М0М неограниченно приближается к положению М0К, к касательной к графику у = f(х) в точке М0. Угловой коэффициент касательной получим из предельного перехода Майер И.И. Производная - определение. Производной функции у = f(х)в точке х0 называется предел отношения приращения функции Δу = f(х0+Δх)-f(х0) к приращению аргумента Δх при произвольном стремлении Δх к нулю, если такой предел существует. Обозначается производная функции f(х) в точке х0 символом f'(х0). Для производной в точке х0 можно использовать и другие обозначения, например: Из предыдущих рассуждений следует, что геометрический смысл производной – это тангенс угла наклона касательной к функции в точке

Майер И.И. 1.1. Элементы теории множеств Множество - совокупность предметов (объектов), объединенных общим (характеристическим) свойством. Обозначается заглавными буквами, например А, X, Y Элемент множества – любой его объект. Обозначается соответствующими строчными буквами a, x, y Запись a∈A - элемент а входит в множество А, принадлежит ему. Запись а∉А - элемент а не принадлежит множеству А Пустое множество не содержит ни одного элемента, обозначается символом ∅. Майер И.И. 1.1. Элементы теории множеств В множестве можно выделить подмножества, например в множестве букв (А) можно выделить гласные(Г) и согласные (С). Принадлежность подмножества множеству обозначается Г ⊂ А Универсальное множество содержит все свои подмножества. Обозначается E или U. Множество может состоять из бесконечного или конечного количества элементов. Счетное множество состоит из элементов, которым можно присвоить порядковые номера

3.1 Вектори. Операції над ними. 3.1 Вектори. Операції над ними.

Аналітична геометрія - розділ геометрії, в якому найпростіші лінії і поверхні (прямі, площини, криві і поверхні другого порядку) досліджуються засобами алгебри. Лінією на площині називають геометричне місце точок M (x;y), координати яких задовольняють рівняння F (x, y) = 0, (1)    де F (x, y) - многочлен степені n. Поверхнею називають геометричне місце точок M (x;y;z), координати яких задовольняють рівняння F (x, y, z) = 0, (2)     де F (x, y, z) - поліном степені n. Лінією в просторі називають перетин двох поверхонь. Рівняння (1) і (2) називають загальними рівняннями лінії на площині і поверхні відповідно. Степінь многочлена F (x, y) (F (x, y, z)) називають порядком лінії (поверхні). 1. Пряма на площині 1.1 Загальне рівняння прямої на площині і його дослідження ЗАДАЧА 1. Написати рівняння прямої, що проходить через точку M0(x0;y0), перпендикулярно вектору

Геометрия Планиметрия Стереометрия stereos телесный, твердый, объемный, пространственный Стереометрия. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая. Плоскость.

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским– учеником Евклида, который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор. Историческая справка о конусе Понятие конуса и его элементы Конус вращения Конические сечения Площадь боковой поверхности конуса Площадь полной поверхности конуса Объем конуса Усеченный конус Задачи по теме «Конус»

Р е ш е н и е: 1 м = 10 дм. Тогда 10 дм : 2 = 5 дм. О т в е т: длина одного куска – 5 дм. ? ? 1 м Кусок проволоки длиной 1 м разрезали на 2 равные части. Какова длина одной части? У300. 5 дм 5дм У301. Кусок проволоки длиной 1 м разрезали на 3 равные части. Какова длина одной части? 1 м 1 м = 10 дм, 10 : 3 = 3 (1 ост. ); 1 м = 100 см, 100 : 3 = 33 ( 1 ост.) 1 м = 1000 мм, 1000 : 3 = 333 ( 1 ост.) У302. Кусок проволоки длиной 2 м разрезали на 3 равные части. Какова длина одной части? 2 м

Австрии Индонезии Математический диктант "Флаги" Тема: «Обыкновенные дроби» Каждый флаг разделен на несколько равных частей. Ответьте на вопросы: Какая часть фигуры закрашена: голубым – розовым – желтым – Проверьте себя Проверьте себя Проверьте себя Математический диктант а) б) в) 1 2 3 4

Для доказательства используются признаки равенства прямоугольных треугольников. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 1 Дано: △ ABC и △ A1B1C1, ∠С = ∠ С1, AB = A1B1, высота AH равна высоте A1H1. Доказать: △АВС = △А1В1С1 H H1

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. При решении инженерных задач их принято называть проектными параметрами, а в экономических задачах их обычно называют параметрами плана. Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества). В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет минимум (или максимум).

Степенные функции, их свойства и графики Закрыть Степенная функция х у Область определения степенных функций такого вида - все действительные числа. n – нечетное число 2. Область значений степенных функций такого вида - все действительные числа. 3. Функция возрастает на всей области определения

Введение Древние софизмы Числовые софизмы Геометрические софизмы Выводы Содержание Софизм (от греческого sophisma- уловка, выдумка, головоломка)- логически неправильное рассуждение, выдаваемое за правильное. Математический софизм- удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Эффектная демонстрация явно неверного доказательства- в этом и состоит смысл софизма. Что такое софизм?

* Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду. Толстой Л.Н. * рассмотреть основные виды уравнений познакомиться с различными методами решения уравнений Задачи: