Презентации по Математике

В 7 одинаковых коробках 28 цветных карандашей. Сколько карандашей в 6 таких коробках? 7 к. – 28 к. 6 к. – ? к. 1) 28 : 7 = 4 ( к.) – в одной коробке 2) 4 х 6 = 24 ( к.) – в 6 коробках Ответ: 24 карандаша. 28 : 7 х 6 = 24 ( к.) Чтобы сшить 9 одинаковых пододеяльников надо 27 метров сатина. Сколько сатина потребуется, чтобы сшить 5 таких пододеяльников? 9 п. – 27 м. 5 п. – ? м. 1) 27 : 9 = 3 ( м) – на один пододеяльник 2) 3 х 5 = 15( м) – на 5 пододеяльников Ответ: 15 метров. 27 : 9 х 5 = 15 ( м )

Понятие об устойчивости. Задача Эйлера Задача Эйлера – задача о равновесии стержня, сжатого центральными силами Под устойчивостью понимается свойство системы самостоятельно восстанавливать свое первоначальное состояние после того, как ей было сообщено некоторое отклонение от положения равновесия. При малых прогибах Изгиб стержня происходит в плоскости минимальной жесткости и поэтому под величиной I понимается минимальный момент инерции сечения. Понятие об устойчивости. Задача Эйлера Граничные условия 1) 2)

Основы теории оболочек вращения безмоментная теория оболочек; моментная теория оболочек. Оболочка является более сложным объектом – она представляет собой тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми h (толщина оболочки) мало по сравнению с другими характерными размерами Оболочку называют тонкой, если ее толщина значительно меньше (в 20 и более раз), чем прочие размеры. Геометрия оболочек вращения Срединной или средней поверхностью оболочки называется поверхность, равноудаленная от ее внутренней и наружной поверхностей.   Основными геометрическими понятиями теории оболочек постоянной толщины являются понятия срединной поверхности и слоя оболочки. Откладывая по внутренним нормалям к срединной поверхности оболочки отрезки длиной z и соединяя их концы, получим новую поверхность, которую назовем слоем z оболочки.

Напряженное состояние в точке Напряженное состояние в точке Правила знаков Нормальные растягивающие напряжения считаются положительными, сжимающие – отрицательными. За положительные составляющих касательных напряжений принимают положительные направления осей координат, если направление растягивающих нормальных напряжений по той же площадке совпадает с положительным направлением соответствующей оси координат.

Классификация дифференциальных уравнений обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную и производные по ней; дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним. В зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных: Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных метод конечных разностей (МКР); метод крупных частиц (метод Давыдова); метод конечных элементов (МКЭ).

Классификация дифференциальных уравнений обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную и производные по ней; дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним. В зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных: Примеры дифференциальных уравнений уравнение свободных колебаний уравнение вынужденных колебаний уравнение Лапласа одномерное волновое уравнение уравнение теплопроводности

Методы обработки числовых данных Таблицы Экспериментальные данные 2 подхода Интерполяция - аппроксимирующая функция должна пройти через все точки Регрессия - аппроксимирующая функция не обязательно должна проходить через все точки Цель Получение функциональной зависимости y = f(x) Числовые данные Интерполяция Сущность интерполяции состоит в отыскании значения функции в некоторой промежуточной точке Виды интерполяции: интерполяция по Лагранжу; линейная; квадратичная; сплайн-интерполяция.

Решение системы нелинейных уравнений в Mathcad Основное отличие методов решения систем нелинейных уравнений: используются только итерационные методы. Итерационные методы: метод простой итерации; метод Ньютона. Решение систем нелинейных уравнений

Тема 3. Численные методы линейной алгебры Численные методы линейной алгебры: решение систем линейных алгебраических уравнений; вычисление определителей матриц; вычисление обратной матрицы; вычисление собственных значений. Основные сведения из теории матриц Какие бывают матрицы? прямоугольная матрица; квадратная матрица; симметричная матрица; треугольная матрица; верхняя треугольная матрица; нижняя треугольная матрица; диагональная матрица; единичная матрица; ленточная матрица; разреженная матрица; обратная матрица.

Метод исключения Гаусса Задание. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием средств программы Mathcad. Метод исключения Гаусса 1-й способ

Алгебраические Тема 2. Решение нелинейных уравнений Алгебраическое уравнение порядка n имеет n корней, которые могут быть действительными или комплексными. Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические или другие специальные функции, например lg x или ex, называются трансцендентными. Трансцендентные уравнения могут иметь неопределенное число решений. Классификация нелинейных уравнений: алгебраические; трансцендентные. Методы решения Методы решения: прямые; итерационные. Особенности итерационных методов: полученное решение всегда является приближенным; в итерационных методах существует проблема сходимости. Область, в которой заданные исходные значения сходятся к решению, называют областью сходимости. Итерационные методы решения нелинейных уравнений отличаются между собой областью сходимости и скоростью сходимости решения.

В каких случаях необходимо использовать численное интегрирование? интеграл не вычисляется аналитически; подынтегральная функция имеет сложный вид; подынтегральная функция задана таблично. Методы: Численное интегрирование метод прямоугольников; метод трапеций; метод Симпсона (парабол); метод Гаусса. В основе численных методов – вычисление площади криволинейной трапеции Вычисление интегралов с заданной точностью (автоматическим выбором шага интегрирования). Вычисление несобственных интегралов. Вычисление кратных интегралов.

Математический и естественнонаучный цикл Трудоемкость – 5 ЗЕ Лекции – 32 час. Лабораторные работы – 36 час. Практические занятия – 18 час. СРС – 90 час. КСР – 4 час. Дифференцированный зачет. Численные методы в инженерных задачах Расписание занятий Численные методы в инженерных задачах

Численные методы решения краевой задачи Две группы методов: методы, основанные на замене решения краевой задачи решением нескольких задач Коши; методы, в которых используется конечно-разностная форма дифференциального уравнения. граничные условия Методы «стрельбы» граничные условия Дифференциальное уравнение второго порядка Краевая задача сводится к задаче Коши с помощью начальных условий 1) – решение 2) – решение   является линейным

Классификация дифференциальных уравнений обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную и производные по ней; дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним. В зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных: Примеры дифференциальных уравнений уравнение свободных колебаний уравнение вынужденных колебаний уравнение Лапласа одномерное волновое уравнение уравнение теплопроводности

Математический и естественнонаучный цикл Трудоемкость – 5 ЗЕ Лекции – 10 час. Лабораторные работы – 4 час. Практические занятия – 6 час. СРС – 149 час. КСР – 2 час. Экзамен – 9 час. Математическое моделирование и численные методы в инженерных задачах Трусов П.В. Введение в математическое моделирование, М.: Логос, 2007. – 439 с. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ, М.: Мир, 1982. – 238 с. Шуп Т. Прикладные численные методы в физике и технике, М.: Высшая школа, 1990. – 255 с. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. М.: Высшая школа, 1994. - 416 с. Копченова Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах. 1972 Бахвалов Н.С. Численные методы, М.: Наука, 2003. – 630 с. Калиткин Н.Н. Численные методы, М. : Наука, 1978. – 512 с. Демидович Б.П. Марон И.А. Основы вычислительной математики, М.: Наука, 1970. – 664 с. Литература

Линейная интерполяция (Mathcad) Сплайн-интерполяция (Mathcad)

Решение системы нелинейных уравнений в Mathcad Пример С использованием метода Ньютона решить систему уравнений с точностью ε=0,001: 1. Приведение системы уравнений к виду: 2. Частные производные:

Решение нелинейного уравнения в Mathcad Метод половинного деления Пример. Найти с точностью 10–3 корень уравнения x – cos x = 0 Реализация в Mathcad

Этапы работы: Теоретический этап

Построение рекомендаций Искомое Фильмы Люди

Решить неравенство Решить неравенство

x y 1 -1 y= sin x x y 1 -1 y= sin x y= 2sin2x

y x 1 -1 cos = x y Построение графика функции: y x 1 -1 Свойства функции y = cos x: