Дифференциальные уравнения высших порядков
§1. Основные понятия и определения
Дифференциальными уравнениями высшего порядка называ-
ют уравнения порядка выше первого. В общем случае ДУ высшего порядка имеет вид F(x, y , y ′ , y ′′ , y ′′′ , … , y(n)) = 0 , (1) где n > 1 . Замечание. Функция F может и не зависеть от некоторых из аргументов x, y, y ′, y ′′, … , y(n–1) . ДУ высшего порядка, которое можно записать в виде: y(n) = f(x, y , y ′ , y ′′ , … , y(n–1)) , (2) называют уравнением, разрешенным относительно стар-
шей производной. ДУ порядка n имеет множество решений (интегралов). Чтобы выбрать одно из них, задают n условий, которым должно удовлетворять искомое решение. Обычно, задают значение искомой функции и всех ее производных до порядка n – 1 включительно при некотором значении аргумента x = x0 : y(x0) = y0 , y ′ (x0) = y01 , y ′′ (x0) = y02 , … , y(n–1)(x0) = y0n–1 . (3) Совокупность условий (3) называется начальными условиями для дифференциального уравнения n-го порядка. Нахождение решения уравнения (1) (или (2)), удовлет-
воряющего заданным начальным условиям (3), называется решением задачи Коши для этого уравнения.