Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Равносильность уравнений. Ребята, мы подходим к концу изучению курса алгебры и начала анализа за 11 класс. Мы научились решать огромное количество уравнений, неравенств и различных систем уравнений. Нам осталось подвести некоторый итог и дать уточнения. Для начала, вернемся к уравнениям с одной переменой. В курсе 11 класса мы уже рассматривали показательные и логарифмические уравнения. Теперь, мы постараемся рассмотреть уравнения в самом общем виде. Равносильность уравнений. Определение. Два уравнения с одной переменой f(x)=g(x) и h(x)=q(x) называются равносильными, если множества решений этих уравнений совпадают. Два уравнения равносильны, когда у них одинаковые корни или когда у них нет решений. Давайте приведем пример равносильных уравнений. Уравнения и равносильны, т.к. имеют одинаковые корни х=±3. Уравнения и так же равносильны так как не имеют вещественных корней. Равносильность уравнений. Определение. Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) (1) является в то же время корнем уравнения h(x)=q(x) (2), то уравнение (2) является следствием уравнения (1). Например, уравнение х-3=3, имеет корень х=6, а уравнение , имеет два корня х=6 и х=0, один из корней совпадает, тогда уравнение является следствием уравнения х-3=3. Два уравнения являются равносильными, тогда и только тогда когда каждое из уравнений является следствием другого уравнения. Формально, схему решения любого уравнения можно описать так. Исходное уравнение преобразуют в более простое уравнение, получившиеся уравнение преобразуют еще в более простое уравнение, и так, пока не получится совсем простое уравнение, которое легко решить. Но стоит заметить уравнения нельзя преобразовывать как вздумается, для каждого класса уравнений есть свои правила и требования.
