Алгебраические и трансцендентные уравнения
2.1 Методы локализации корней
2.1.1 Аналитический метод
Теоретической основой алгоритма отделения корней служит теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции: Теорема 2.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B, то для любой точки C, лежащей между A и B на этом отрезке существует точка , что f(ξ) = C. Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы один корень уравнения f(x) = 0. Пусть область определения и непрерывности функции является конечным отрезком [a, b]. Разделим отрезок на n частей: Вычисляя последовательно значения функции в точках a0, a1, … an, находим такие отрезки [ak, ak+1], для которых выполняется условие (2.1) т.е. или Эти отрезки и содержат хотя бы по одному корню. Пример 2.1. Отделить корни уравнения sin 5x + x2 – 1 = 0. Решение. Построим таблицу значений функции y = sin 5x + x2 – 1 на отрезке [–4; 4] с шагом изменения аргумента h = 1, пользуясь калькулятором или электронными таблицами (табл. 2.1). Табл. 2.1 Табл. 2.1 показывает, что данное уравнение имеет корни в интервалах (–1; 0) и (1; 2), так как функция меняет знак в этих промежутках. Пока мы не можем утверждать, что в найденных интервалах содержится ровно по одному корню и, что в других интервалах корней нет. Чтобы уточнить информацию о числе корней можно построить таблицу значений функции с меньшим шагом, например h = 0,1.
