Презентации по Математике

Признак Даламбера Рассмотрим ряд (*) Если при существует предел отношения последующего элемента к предыдущему, то есть , то при - ряд сходится; - ряд расходится; - признак Даламбера не действует. Радикальный признак Коши. Рассмотрим ряд (*) Если при существует , то при - ряд сходится; - ряд расходится; - радикальный признак Коши не действует. Интегральный признак Коши Не трудно заметить полную аналогию определений сходимости ряда и сходимости несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом. Много общего и в признаках сходимости рядов с положительными элементами и интегралов с положительной подынтегральной функцией. Рассмотрим признак, позволяющий в некоторых случаях сводить вопрос о сходимости ряда, к вопросу о сходимости интеграла. Рассмотрим ряд (*), элементы которого являются з начениями непрерывной положительной функции f(x) при целых значениях аргумента х: и пусть f(x) монотонно убывает в интервале Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл и расходится, если этот интеграл расходится. Ряды с произвольными элементами. Абсолютная сходимость Знакочередующиеся ряды Знакочередующийся ряд можно записать в таком виде: (*), где - положительные числа. Достаточный признак сходимости – признак Лейбница Если в знакочередующемся ряду абсолютные величины элементов ряда убывают, то есть в ряде (*) и общий элемент , то ряд сходится, причем его сумма по абсолютной величине меньше ;

Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле Если область D определена, например, неравенствами то Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z=f(x,y), снизу плоскостью z=0 и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости OXY область D. вычисляется по формуле: Примеры с решениями 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение. Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему уравнений . В результате получим A(4;2), B(3;3). Таким образом, 2. Найти площадь, ограниченную лемнискатой Решение. Полагая , преобразуем уравнение кривой к полярным координатам. В результате получим . Очевидно, что изменению угла от 0 до соответствует четверть искомой площади. Следовательно,

Ряд, элементами которого являются функции, называется функциональным рядом. Обозначение (*), где - определены и непрерывны в одном и том же интервале. Ряд (*) для одних значений х может сходиться, а для других расходиться. Значение , при котором числовой ряд сходится, называется точкой сходимости ряда (*). Совокупность всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда, или говорят, что ряд сходится в данной области. Областью сходимости обычно бывает какой-либо интервал оси ОХ. - n –ая частичная сумма; остаток ряда. Если ряд сходится, то Определение Функциональный ряд (*) называется правильно сходящимся в области D, принадлежащей области сходимости ряда, если в области D все его элементы по абсолютной величине не превосходят соответствующих элементов некоторого числового ряда с положительными элементами. Это значит, что во всех точках области D должно выполняться неравенство , где - элемент сходящегося ряда Этот ряд называется мажорирующим по отношению к ряду (*). Свойства правильно сходящихся рядов Сформулируем основные теоремы о правильно сходящихся рядах, которые дают ответ на вопрос о переносе на ряды свойств сумм конечного числа функций. Во всех теоремах предполагается, что область правильной сходимости ряда есть некоторый интервал оси ОХ. Теорема 1 Если ряд из непрерывных функций правильно сходится в области D, то его сумма есть функция непрерывная в этой области. Так ряд сходится правильно в любом интервале. Следовательно, его сумма S(x) – непрерывная функция.

Тройные интегралы. Вычисление тройных интегралов. Декартовы прямоугольные координаты. Рассматривая задачу отыскания массы неоднородного тела, получим определение тройного интеграла. Рассмотрим тело, занимающее пространственную область Т, и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела Разобьем тело произвольным образом на n частей. Объемы этих частей обозначим Выберем затем в каждой части по произвольной точке . Полагая, что в каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы (*) Предел этой суммы при условии, что и каждое частичное тело стягивается в точку, то есть ее диаметр стремится к 0 и даст массу М тела: Сумма (*) называется интегральной суммой, а ее предел – тройным интегралом от функции по пространственной области Т. К вычислению тройного интеграла приводят и другие задачи, поэтому в дальнейшем будем рассматривать тройной интеграл: где f(x, y, z) – любая функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области Т, имеющей объем V. Обычно эта область ограничена одной или несколькими замкнутыми поверхностями.

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения с разделёнными переменными Так называются уравнения вида f(x) dx + g(y) dy = 0. Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е. f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим - общий интеграл (общее решение) этого уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида y’=f(x)g(y) (1) или (2) Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными: Записываем уравнение (1) в форме затем делим на g(y) и умножаем на dx: Интегрируя последнее уравнение, получаем Уравнение (2) делим на получаем: Интегрируя последнее уравнение, получаем: К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида: Если перейти к новой неизвестной функции z=ax +by +c, то , и уравнение представляется как z’=bf (z)+a. (уравнение с разделяющимися переменными).

Вычисление тройных интегралов. Цилиндрические координаты Отнесем область Т к системе цилиндрических координат , в которой положение точки М в пространстве определяется полярными координатами ее проекции Р на плоскости ОХУ и ее аппликатой z. Выберем взаимное расположение осей координат как указано на следующем рисунке y R P x Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами точки следующая: (*) Преобразование интеграла к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным координатам. Для этого нужно в f(x, y, z) переменные x, y, z заменить по формулам (*). Элемент объема положить равным и вычислить интеграл по области, построенной во вспомогательной системе координат . Получаем: Если рассмотреть в качестве области интегрирования внутреннюю часть прямого цилиндра , то все пределы интегрирования постоянны

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Уравнение в полных дифференциалах Если для дифференциального уравнения (1) выполнено тождество P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 , то уравнение (1) может быть записано в виде dU(x,y)=0 и называется уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл уравнения (1) есть U(x, y)=C. Функция U(x, y) определяется по формуле: Интегрирующий множитель Если левая часть уравнения (1) е является полным дифференциалом и выполнены условия теоремы Коши, то существует функция (интегрирующий множитель) такая, что (2) Отсюда получаем, что функция удовлетворяет уравнению Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях: Примеры с решениями: Найти общий интеграл дифференциального уравнения: Решение. Это уравнение в полных дифференциалах, так как и, следовательно, уравнение имеет вид dU=0

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Однородное уравнение. Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q без правой части имеют вид y’’+py’+qy=0 (1). Если - корни характеристического уравнения (2), то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех видов: 2) 1) 3) , если , если , если Неоднородное уравнение Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно записать в виде суммы , где - общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части, определяемое по формулам (1)-(3), и Y – частное решение данного уравнения (3). y’’+py’+qy=f(x) (3) Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях: 1. , где - многочлен степени n. Если , то полагают где - многочлены степени N=max{n,m}.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Дифференциальное уравнение вида (1) относительно называется линейным. y’+P(x)y=Q(x) y,y’ Если функция , то уравнение (1) принимает вид (2) называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом случае переменные разделяются и общее решение уравнения (2) есть (3) Q(x)=0 y’+P(x)y=0 Для решения неоднородного линейного уравнения (1) применяем так называемый метод вариации произвольной постоянной. Этот метод состоит в том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного линейного уравнения, то есть соотношение (3). Затем, полагая в этом соотношении величину С функцией от х, ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (3). Для этого подставляем в уравнение (1) определяемые из (3), и из полученного дифференциального уравнения определяем функцию С(х). y, y’, Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) получаем в виде Для решения линейного уравнения (1) можно также применить подстановку (4) , где u, v – функции от х. y=uv Тогда уравнение (1) примет вид: [u’+P(x)u]v+v’u=Q(x) (5) Если потребовать, чтобы (6), то из (6) найдем u, затем из (5) найдем v, а следовательно, из (4) найдем y. u’+P(x)u=0

1 2 3 4 5 6

ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ Рис. 10.16 ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ 4. Произведение двух графов Gl и G2 есть граф G, для которого x1• x2= G (рис. 10.17). Рис. 10.17

Теория графов — это раздел математики, включающий в себя систему терминов и обозначений, которые позволяют сравнительно просто описывать сложные процессы и явления. Началом возникновения теории графов явилась задача о кенигсбергских мостах, которую решил Л. Эйлер. Задача заключалась в том, чтобы пройти по семи мостам только один раз и вернуться в исходную часть города. Графом G = (X,U) называется совокупность двух множеств: непустого множества X (вершин) и множества U (ребер), т.е. Каждая дуга соединяет две вершины графа, одна из которых является начальной, другая конечной и направлена от первой вершины ко второй. Обозначают дуги: U1= (x1 ,x2), U1 или (x1 ,x2).

ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА Задача заключается в определении оптимального маршрута объезда n городов по критерию времени, стоимости или длине маршрута. Эта задача связана с определением гамельтонова цикла минимальной длины. Основным методом решения таких задач является метод ветвей и границ. Сущность метода заключается в том, что все множество допустимых решений задачи делится на последовательно уменьшающиеся подмножества с помощью процедуры ветвления. В результате находится последовательность объезда пунктов (маршрут), протяженность которого меньше любого другого возможного варианта, т.е. строится оптимальный кольцевой маршрут. ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА Построить оптимальный кольцевой маршрут для неографа G(X,Y) (рис. 10.36) с вершинами хi , Пропускные способности ребер указаны на графе. Рис. 10.36

При решении ряда практических задач (в области экономики, военного дела и т. д.) приходится анализировать ситуации, где налицо две (или более) враждующие стороны, преследующие противоположные цели, причем результат каждого мероприятия одной из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник. Такие ситуации будем называть "конфликтными ситуациями". Конфликтная ситуация - ситуация, в которой две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от действий партнера. Ряд ситуаций в области экономики (особенно при наличии свободной конкуренции) принадлежит к конфликтным ситуациям; в роли борющихся сторон выступают торговые фирмы, промышленные предприятия и т. д. Необходимость анализировать подобные ситуации вызвала к жизни специальный математический аппарат. Теория игр по существу представляет собой не что иное, как математическую теорию конфликтных ситуаций. Цель теории - выработка рекомендаций по рациональному образу действий каждого из противников в ходе конфликтной ситуации.

Одной из наиболее важных задач теории графов является задача определения максимального потока, протекающего от некоторой вершины графа s (источника) к вершине t (стоку). Примерами таких задач могут быть: перевозка наибольшего товара, максимальное количество жидкости и газа, транспортируемых по трубопроводам, информация по компьютерной и телефонной сети и др. Потоком в сети G = (Х,U) от входа s к выходу t называется неотрицательная функция U, определенная на множестве дуг сети со следующими свойствами: (10.4) (10.5) (10.4)

Прогулка в лес Вы бывали летом в лесу? Прогулка по лесу – это так приятно, а наблюдательному человеку ещё и интересно! «На опушке леса» Нажимайте на цветок, отвечайте на вопросы

2.4 Для любого числа существует число называемое ему обратным и обозначаемое , для которого 3.Связь операций сложения и умножения 4.Упорядоченность Для любых двух различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений: либо транзитивность. Если a0 Для любого числа неотрицательное число называется абсолютной величиной или модулем. Свойства модуля

Определение Касательной к данной непрерывной кривой в данной ее точке М (точка касания) называется предельное положение секущей ММ’, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М’ неограниченно приближается по кривой к первой. Если секущая ММ’ при не имеет предельного положения, то говорят, что касательной к данной линии в точке М не существует. Задача Зная уравнение непрерывной линии y=f(x) найти уравнение касательной в данной точке ее M(x,y), предполагая, что касательная существует. Наряду с точкой M(x,y) возьмем на линии другую точку . Проведем секущую MM’ и прямые MN||OX,M’N||OY получим прямоугольный треугольник MNM’ с катетами и . Пусть секущая MM’ составляет с ОХ угол .Из определяем угловой коэффициент секущей (1). Пусть ,тогда и секущая (предельное положение секущей). Обозначим через угол образованный касательной МТ с положительным направлением оси ОХ. При , . Если касательная МТ не перпендикулярна ОХ, то в силу непрерывности тангенса получим . Отсюда переходя к пределу при в равенстве (1) найдем угловой коэффициент касательной МТ. (2). Предел, стоящий в правой части равенства (2), называется производной функции y=f(x) в точке х и сокращенно обозначается следующим образом (3).

Теорема 4 Разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и Теорема 5 Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и . Теорема 6 Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и . Теорема 7 Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству Теорема 8 Пусть и . Пусть также начиная с некоторого номера элементы последовательности удовлетворяют неравенству , тогда 2.Ограниченные и неограниченные последовательности Определение 1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (число m), что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству M – верхняя грань; m – нижняя грань. - условие ограниченности последовательности сверху (снизу). Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет бесчисленное множество верхних ( нижних) граней. Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству M – верхняя грань; m – нижняя грань. Если ограничена, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству , где Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству . Примеры: 1)последовательность -1, -4, -9, …,- ,… - ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1.

Определение Последовательность называется фундаментальной, если , такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию и для всех натуральных чисел p (p=1,2,…) справедливо неравенство Теорема 1 Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы нижний и верхний пределы ее совпадали, то есть Теорема 2 (важное свойство фундаментальной последовательности) Для фундаментальной последовательности, - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N. Другими словами, вне интервала находится не более чем конечное число элементов последовательности. Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной последовательности. Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Примеры с решениями 1.Доказать, что последовательность сходится. Доказательство. Оценим модуль разности Пусть - произвольное положительное число. Поскольку для этого существует N такое, что для любого верно неравенство . Значит, если , а p – произвольное натуральное число, то . Таким образом, условие Коши выполнено, и поэтому данная последовательность сходится. 2. Доказать, что последовательность расходится Доказательство. Оценим модуль разности Если здесь взять p=n , то получим Отсюда видно, что данная последовательность удовлетворяет отрицанию условия Коши. А именно, при для любого натурального N возьмем n=N, m=2N, тогда будем иметь Значит, данная последовательность не имеет конечного предела, то есть расходится. 3.Доказать, что последовательность имеет предел и найти его. Доказательство. Составим отношение . Поскольку (n+1)/(2n+3)

Записи и соответственно означают при и при 1.Если при , то при 2.Если при , то при Основные теоремы о бесконечно малых функциях: Теорема 1 Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при . Теорема 2 Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую при функцию, есть функция бесконечно малая функция при . Теорема 3 Произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при . Следствие Целая положительная степень бесконечно малой функции при есть бесконечно малая функция. Замечание Отношение двух бесконечно малых функций при может быть функцией произвольного поведения . С помощью действия деления можно сравнивать между собой бесконечно малые. Определение 1 Две бесконечно малые функции при имеют одинаковый порядок при , если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, то есть Определение 2 При порядок бесконечно малой функции выше порядка бесконечно малой функции , если отношение есть бесконечно малая при , то есть . В этом случае пишут при . Определение 3 При бесконечно малая функция имеет порядок n (n – натуральное число) относительно бесконечно малой функции при , если При вычислении пределов часто используется следующая таблица эквивалентных функций Эквивалентность при Равенство при

2.Дробно-рациональная функция 1)и 2) – класс рациональных функций. 3.Иррациональная функция Над аргументом х помимо вышеперечисленных операций производится операция извлечения корня конечное число паз и при этом результат не является рациональной функцией. Пример Совокупность рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций 4.Многозначная неявная функция Это - более общий случай алгебраических функций , где n – целое положительное число - целые рациональные функции от х. Пример 5.Трансцендентные функции Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. Элементарные трансцендентные функции: а) показательная ; б) логарифмическая функция ; с) тригонометрические функции sinx, cosx, tgx, ctgx; d) обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Обозначения: D(f) – область определения функции y=f(x). Областью определения функции может быть: интервал, сегмент, бесконечный интервал, совокупность интервалов или сегментов, вся числовая ось (множество действительных чисел). E(f) – множество значений функции. Функция f(x) область определения которой симметрична относительно нуля, называется четной, если f(x)=f(-x) для любого значения х. График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция f(x) область определения которой симметрична относительно нуля, называется нечетной, если f(-x)=-f-x) для любого значения х. График четной функции симметричен относительно начала координат. Задачи с решениями. 1. Найти область определения функции Решение. Данная функция определена, если . Таким образом, областью определения функции является объединение двух интервалов

Теорема 4 Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного при равен частному пределов делимого и делителя, то есть Теорема 5 Если функция f(x) имеет предел при и (n – натуральное) существует в точке а и в некоторой ее окрестности , то Теорема о промежуточной функции Пусть в некоторой окрестности точки а функции f(x) заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при , то есть (1) и (2), тогда функция f(x) имеет тот же предел, то есть (3). Вычисление пределов основано на применении основных теорем о пределах, признаков существования пределов, а также теорем о бесконечно малых и бесконечно больших функциях. Рассмотрим вычисление пределов на различных примерах. 1. Найти Решение. Так как , то числитель стремится к числу 4*4+2=22, а знаменатель к числу 2*4+3=11. Следовательно 2. Найти Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив на х числитель и знаменатель дроби, получим 3. Найти Решение. Числитель и знаменатель при стремятся к нулю. Принято говорить, что получается неопределенность . Имеем . Если , то . Но при дробь . Итак 4. Найти Решение. Здесь имеет место неопределенность вида . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Теорема Если функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями ,где - дифференцируемые функции и производная этой функции есть (3). Примеры с решениями. 1.Применяя логарифмическую производную вычислить производные следующих функций: Решение Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получим Продифференцируем обе части последнего равенства по х. Так как y является функцией от х, то lny есть сложная функция х и Следовательно Решение .Имеем откуда Решение. Здесь заданную функцию также полезно предварительно прологарифмировать Получаем Решение. заданную функцию также полезно предварительно прологарифмировать следовательно 2.Продифференцировать функции, заданные параметрическими уравнениями 1.Найти если Решение 2.Найти если