Презентации по Математике

Таблица формул дифференцирования

К понятию определенного интеграла приводят такие задачи, как: - задача о площади криволинейной трапеции; - задача о вычислении длины прямолинейного пути по заданной скорости; - задача о вычислении объемов; - задача о вычислении массы прямолинейного стержня и т.д. Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции Рассмотрим криволинейную трапецию aABb, то есть плоская фигура, ограниченная графиком функции y=f(x), отрезками аА, вВ, прямыми x=a, x=b и осью ОХ. Разобьем отрезок [a,b] точками на n произвольных отрезков , то есть Длину каждого отрезка обозначим через На каждом отрезке построим прямоугольник высотой , где - значение функции в этой точке. - площадь такого прямоугольника. Составим сумму таких произведений (1) – интегральная сумма для функции f(x) на отрезке [a,b] Интегральная сумма (1) выражает площадь ступенчатой фигуры и приближенно заменяет площадь криволинейной трапеции aABb Функция y=f(x) – непрерывная и площадь построенной фигуры при достаточно малых ”почти совпадает” с площадью рассматриваемой криволинейной трапеции. Можно для [a,b] выбирать различные и и таким образом получать последовательность разбиений и последовательность интегральных сумм. Можно доказать, что существует предел S переменной , когда , а длина

Пусть f(x) определена на некотором множестве М, которое является конечным или бесконечным интервалом. Определение 1 F(x) называется первообразной для f(x) на множестве М, если она дифференцируема в каждой точке и Примеры: Если F(x) первообразная для f(x), то F(x)+C также первообразная для f(x) (F(x)+C)’=F’(x)=f(x) Теорема Если первообразные для f(x), то Доказательство Пусть тогда G(x)=const, , то есть Замечание: Если F(x) одна из первообразных для f(x) на множестве М, то любая первообразная Ф(х) для f(x) на множестве М представима в виде Ф(х)=F(x)+C, C=const Определение 2 Совокупность всех первообразных функций для f(x) на множестве М называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается - знак интеграла; f(x)dx – подынтегральное выражение; f(x) – подынтегральная функция. Если F(x) – одна из первообразных для f(x) на множестве М, то (1) Пример Замечание Если F(x) – первообразная для f(x) на М, то в формуле(1) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F(x). Действительно Будем считать по определению, что (2)

1. Определение функции нескольких переменных При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями нескольких независимых переменных. Пример 1. Площадь прямоугольника S со сторонами x и y выражается формулой S=S(x,y)= xy. значения S. Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами x,y,z соответственно, выражается формулой V=V(x,y,z)=xyz. Пример 3. - функция 4-х переменных. Определение 1 Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x,y из некоторой области их изменения D соответствует определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых переменных x,y, определенных в области D. Обозначение: z=f(x,y), z=F(x,y), и так далее. Способы задания функции: аналитический, табличный, графический. Например, S=xy Как и в случае одного независимого переменного, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значения x,y. Определение 2 Совокупность пар (x,y) значений x,y, при которых определена функция z=f(x,y), называется областью определения или областью существования этой функции. Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений x,y будем изображать точкой M(x,y) в плоскости OXY, то область определения функции изображается в виде некоторой совокупности точек плоскости. Эта совокупность точек называется областью определения функции. В большинстве случаев области – это часть плоскости, ограниченная линиями. Линию, ограничивающую данную область, называют границей области.. Точки области, не лежащие на границе называются внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой. Область называется ограниченной, если существует такое c=const, что расстояние до любой точки M области от начала координат О(0,0) меньше с, то есть |OM|

Предположим, что в уравнении z=F(u,v) (1) u,v - функции независимых переменных x,y: (2) В этом случае z есть сложная функция от аргументов x,y. В общем случае z можно выразить через x,y непосредственно, а именно: (3) Пример 1 . Тогда Предположим, что имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Задача. Вычислить исходя из уравнений (1),(2), не пользуясь уравнением (3). Даем аргументу x приращение , оставляя y неизменной, тогда u,v получают приращения . Но если u,v получают приращения , то и функция z=F(u,v) получит приращение , определяемое следующей формулой: Разделим обе части равенства на : Если (в силу непрерывности функций u,v), то . Переходя к пределу при получим . Следовательно: (4) аналогично (4’) Пример 2 Решение Используя формулы (4),(4’) получаем В последнем выражении вместо u,v можно подставить их выражения. Для случая большего числа переменных формулы (4),(4’) обобщаются. Например, для w=F(z,u,v,s), которая является функцией 4-х переменных, и каждая их которых зависит от переменных x,y, то формула (4),(4’) принимает вид: и (5) Если задана функция z=F(x,y,u,v), где y,u,v - в свою очередь зависят от одного аргумента x , то по сути z - функция от одного аргумента. Тогда можно рассмотреть вопрос о нахождении Эта производная вычисляется по первой из формул (5), то есть . Но так как y,u,v – функции только одного переменного x, то частные производные обращаются в обыкновенные, и кроме того , поэтому . Это формула для вычисления полной производной (в отличие от частной производной )

1. Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл. Рассмотрим задачу об определении объема цилиндрического тела Определение Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное замкнутой областью D плоскости ОХУ, поверхностью z=f(x,y), где функция f(x,y) непрерывна и неотрицательна в области D и цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси OZ и направляющей – границей области D. Область D –основание цилиндрического тела. Граница области состоит из одной или нескольких замкнутых кусочно-гладких линий. В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может отсутствовать. Например, тело, ограниченное плоскостью ОХУ и верхней полусферой: Объем тела можно представить как сумму или разность объемов цилиндрических тел. Принципы, лежащие в основе определения объема тела следующие: 1. Если разбить тело на части, то его объем будет равен сумме объемов всех частей; 2. Объем прямого цилиндра, то есть цилиндрического тела, ограниченного плоскостью параллельной плоскости ОХУ, равен площади основания умноженной на высоту тела. Обозначения: V - искомый объем цилиндрического тела; - частичные области, получаемые при разбиении области D на n замкнутых областей произвольной формы; - площади частичных областей Через границу каждой области проведем цилиндрическую поверхность с образующей параллельной OZ. Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность z=f(x,y) на n кусков, соответствующих n частичным областям. Цилиндрическое тело разбивается на n частичных цилиндрических тел.

Тройные интегралы Определение тройного интеграла. Рассмотрим тело, занимающее пространственную область Т, и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела Разобьем тело произвольным образом на n частей. Объемы этих частей обозначим . Выберем затем в каждой части по произвольной точке . Полагая, что в каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы Предел этой суммы при условии, что и каждое частичное тело стягивается в точку, то есть ее диаметр стремится к 0 и даст массу М тела Сумма (*) называется интегральной суммой, а ее предел – тройным интегралом от функции по пространственной области Т. (*) К вычислению тройного интеграла приводят и другие задачи, поэтому в дальнейшем будем рассматривать тройной интеграл

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): (1) (все три переменные x, y, F - действительны). Определение. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). Пример: y + x=0 - уравнение четвёртого порядка. y(4)– Определение. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

Уравнение Бернулли. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение Бернулли. Так называется уравнение (15) где (при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными). Это уравнение решается одним из следующих способов: Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой (при m>1 может быть потеряно решение y = 0). z = y1-m Действительно, , ; после деления уравнения (15) на получим , или - линейное уравнение. ym

Рассмотрим основные методы интегрирования тригонометрических функций 1. В приложениях математического анализа важное значение имеют интегралы вида Рассмотрим различные значения параметров m и n а) Если хотя бы одно из m или n нечетное (m>0,n>0), то интеграл вычисляется непосредственно. б) Если оба показателя четные числа (m>0,n>0), то используются формулы двойного аргумента, понижающие степень, а именно С) Если m

Для вычисления данного интеграла необходимо тем или иным способом свести его к табличному интегралу и таким образом найти искомый интеграл Наиболее важными методами интегрирования являются: Метод разложения. Метод подстановки. Метод интегрирования по частям. Метод разложения Пусть , тогда на основании свойства имеем . По возможности и стараются подобрать так, чтобы интегралы от них находились непосредственно Метод подстановки (метод введения новой переменной) Пусть f(x) непрерывна на интервале (a,b) и непрерывно дифференцируема на интервале ; причем функция отображает интервал в интервал (a,b). На основании свойства независимости неопределенного интеграла от выбора аргумента и учитывая, что , получим формулу замены в неопределенном интеграле.

Свойства вытекают из определения неопределенного интеграла Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Имеем и 2.Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого. 3.Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. То есть, если то , 4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, то есть, если f(x),g(x),h(x) – непрерывны в интервале (a,b), то при Таблица простейших неопределенных интегралов Имеем соотношения Обобщая формулу дифференцирования, получим

Способы вычисления интегралов, содержащих простейшие иррациональности следующие: 1. Если подынтегральное выражение содержит лишь линейную иррациональность , то применяется подстановка 2. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности этот интеграл с помощью дополнения выражения до полного квадрата сводится к одному из двух интегралов Рассмотрим эти интегралы: a) Применим подстановку Эйлера где t –новая переменная. отсюда b) 3. Интеграл от иррациональности Заменой он сводится к интегралу вида 2) 4. Интеграл от иррациональности Этот интеграл можно разбить на два интеграла, выделив в числителе производную подкоренного выражения; тогда один интеграл вычисляется как интеграл от степенной функции, а второй является интегралом вида 2) 5. Иррациональность вида .Выделяем полный квадрат, а затем полученный интеграл вычисляем по методу – интегрирование по частям. Замечание a) b) При вычислении можно использовать гиперболические функции x=sht, dx=cht (можно x=tgt, но более громоздко). 6. Иррациональность вида , (1) где R – рациональная функция относительно переменной интегрирования x и различных радикалов из x. Обозначим через n – наименьшее кратное всех показателей k,m,… Тогда

1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси ОХ, может быть выражена как функция от х, то есть в виде , то объем части тела, заключенного между перпендикулярными оси ОХ плоскостями x=a и x=b, находится по формуле 2. Вычисление объема тела вращения Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции aABb, ограниченной данной непрерывной линией , отрезком оси ОХ и двумя вертикалями x=a, x=b вычисляется по формуле Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции cCDd, ограниченной данной непрерывной линией , отрезком оси ОУ и двумя горизонталями y=c, y=d вычисляется по формуле 3. Вычисление площади поверхности вращения Если дуга гладкой кривой вращается вокруг оси Ох, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле Если задана параметрическими уравнениями , то Примеры с решениями. 1. Найти объем пирамиды с основанием В и высотой Н Решение Ось ОХ перпендикулярна поверхности В и направлена из точки О. S – площадь сечения пирамиды плоскостью, находящейся на расстоянии х от вершины. Так как площади поперечных сечений пирамиды относятся как квадраты расстояний их от вершины, то имеем (известная формула) 2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями Решение Пределы интегрирования a=1,b=6, функция

Интегрирование по частям в определенном интеграле Пусть u(x) и v(x) непрерывные дифференцируемые функции на отрезке [a,b]. Имеем d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x). Интегрируя, это равенство в пределах от a до b и учитывая, что du(x)=u’(x)dx и dv(x)=v’(x)dx находим Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле (1) Для краткости употребляется выражение Замена переменной в определенном интеграле Пусть дан определенный интеграл (1), где f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Ввели новую переменную t, связанную с х соотношением (2) непрерывная дифференцируемая функция на отрезке Если при этом 1) При изменении t от до переменная х меняется от a до b, то есть (3) 2) Сложная функция и непрерывна на отрезке Тогда справедлива формула

Длина дуги кривой для функции, заданной в прямоугольных декартовых координатах вычисляется по формуле: Поэтому или , где y’=f’(x) Дифференциал дуги в прямоугольных координатах - дифференциал дуги в прямоугольных координатах. Так как , то . Это теорема Пифагора для бесконечно малого треугольника. Нахождение длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями Пусть L – длина дуги кривой , , - непрерывно дифференцируемые функции на заданном отрезке. Формула для дифференциала дуги справедлива и в этом случае dx=x’dt; dy=y’dt. Имеем Интегрируя последнее выражение в пределах от до t=T получим длину дуги Длина дуги в полярных координатах Выведем сначала формулу для дифференциала dL дуги в полярных координатах на основании формулы , где x,y – прямоугольные декартовы координаты точки дуги. Формулы перехода: Отсюда , следовательно, или (1), где Задача Найти длину дуги L непрерывно дифференцируемой кривой между точками и , где - полярные координаты. Решение. Интегрируя равенство (1) в пределах от до получаем длину дуги в полярных координатах , где и - производная

Предел S интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [a,b], когда число n отрезков неограниченно возрастает, а наибольшая длина отрезка называют определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b]. Обозначение a– нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования; [a,b] – отрезок интегрирования; f(x) – подынтегральная функция; x – переменная интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница Вычисление интеграла основано на применении формулы Ньютона-Лейбница Пусть f(x) – интегрируема на отрезке [a,b] и F(x) – одна из первообразных функции f(x), то есть f(x)=F’(x). Тогда приращение первообразной на отрезке [a,b], то есть F(b)-F(a) равно значению определенного интеграла Другая форма двойная подстановка от a до b Основные свойства определенного интеграла При выводе основных свойств определенного интеграла исходим из формулы Ньютона-Лейбница (1), где f(x) – непрерывна на отрезке [a,b] , f(x)=F’(x). Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть = =...= II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен 0, то есть =F(a)-F(a)=0 III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный. Действительно, переставляя пределы интегрирования, в силу формулы (1), получим (2)

Частные приращения функции двух переменных выражаются формулами: (1) (2) Сообщая аргументу x приращение , а аргументу y приращение , получим для z новое приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой (3) В общем случае, полное приращение не равно сумме частных приращений, то есть Частные производные функций нескольких переменных Определение Частной производной по х от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по х к приращению при Обозначения: Таким образом, по определению Аналогично определяется и обозначается частная производная по y, то есть и Заметим, что вычисляется при неизменном y, а при неизменном х. Тогда определения частных производных можно сформулировать так: Частной производной по х от функции z=f(x,y) называется производная по х, вычисленная в предположении, что y=const. Частной производной по y от функции z=f(x,y) называется производная по y, вычисленная в предположении, что x=const. Полное приращение выражается для z=f(x,y) следующей формулой (1) Определение Функция z=f(x,y), полное приращение которой в данной точке (x,y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно , называется дифференцируемой в данной точке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалам и обозначается через dz или df. Если функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она дифференцируема в данной точке и имеет полный дифференциал Полное приращение и полный дифференциал

Определение 1 Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x,y из некоторой области их изменения D соответствует определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых переменных x,y, определенных в области D. Обозначение: z=f(x,y), z=F(x,y), и так далее. Способы задания функции: аналитический, табличный, графический. Определение 2 Совокупность пар (x,y) значений x,y, при которых определена функция z=f(x,y), называется областью определения или областью существования этой функции. Пусть дана функция z=f(x,y), определенная в некоторой области G плоскости OXY. Рассмотрим некоторую определенную точку , лежащую в области G или на ее границе. Определение 3 Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки M(x,y) к точке , если для каждого числа найдется такое число r>0, что для всех точек M(x,y), для которых выполняется неравенство имеет место неравенство Определение 4 Пусть точка принадлежит области определения функции f(x,y). Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если имеет место равенство (1) Причем точка M(x,y) стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Если в некоторой точке не выполняется условие (1), то точка называется точкой разрыва функции z=f(x,y). Условие (1) может не выполняться, например, в следующих случаях: 1) z=f(x,y) определена во всех точках некоторой окрестности точки , за исключением самой точки . 2) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки , но не существует 3) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки и существует , но Определение 5 Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия z=f(x,y)=с на плоскости OXY, в точках которой функция сохраняет постоянное значение z=c.

Предположим, что в уравнении z=F(u,v) (1) u,v - функции независимых переменных x,y: (2). В этом случае z есть сложная функция от аргументов x,y. Если в общем случае z можно выразить через x,y непосредственно, а именно: (3), то частные производные находятся непосредственно. Предположим, что имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Необходимо вычислить исходя из уравнений (1),(2), не пользуясь уравнением (3). Даем аргументу x приращение , оставляя y неизменной, тогда u,v получают приращения . Но если u,v получают приращения , то и функция z=F(u,v) получит приращение , определяемое следующей формулой: Разделим обе части равенства на : Если (в силу непрерывности функций u,v), то . Переходя к пределу при получим . Следовательно (4) аналогично (4’) Полная производная. Если задана функция z=F(x,y,u,v), где y,u,v - в свою очередь зависят от одного аргумента x , то по сути z - функция от одного аргумента. Тогда можно рассмотреть вопрос о нахождении Эта производная вычисляется по формуле Но так как y,u,v – функции только одного переменного x, то частные производные обращаются в обыкновенные, и кроме того , поэтому . Это формула для вычисления полной производной

Пусть функция u = f (x, y, z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(x,y,z) и проведем из нее вектор S, направляющие косинусы которого cosα, cosβ, cosγ. На векторе S на расстоянии Δs от его начала найдем точку М1(х+Δх, у+Δу, z+Δz), где Представим полное приращение функции f в виде: где После деления на Δs получаем: . Поскольку предыдущее равенство можно переписать в виде: (1) Определение Предел отношения при называется производной от функции u = f (x, y, z) по направлению вектора S и обозначается . При этом из (1) получаем: (2) Определение Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x, y, z) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x, y, z). Обозначение: grad u = . Экстремумы функции Определение 1. Точка М0 (х0 , у0 ) называется точкой максимума функции z = f (x, y), если f (xo , yo) > f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М0. Определение 2. Точка М0 (х0 , у0 ) называется точкой минимума функции z = f (x, y), если f (xo , yo) < f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М0. Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если М0 (х0 , у0 ) – точка экстремума функции z = f (x, y), то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют. Определение 3. Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции. Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности точки М0 (х0 , у0 ) , являющейся стационарной точкой функции z = f (x, y), эта функция имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка включительно. Обозначим Тогда: 1) f (x, y) имеет в точке М0 максимум, если AC – B² > 0, A < 0; 2) f (x, y) имеет в точке М0 минимум, если AC – B² > 0, A > 0; 3) экстремум в критической точке отсутствует, если AC – B² < 0; 4) если AC – B² = 0, необходимо дополнительное исследование.

Определение Выражение называется рядом, а числа - элементы (члены) ряда. Короткая форма записи , - общий элемент ряда. Пусть дан ряд - частичная сумма ряда. Образуем последовательность частичных сумм ряда С неограниченным увеличением числа n в сумме учитывается все большее и большее число элементов ряда. Определение Если при существует предел последовательности частичных сумм данного ряда , ряд называется сходящимся, число S - его суммой. Запись Если последовательность частичных сумм не стремится к пределу, то ряд называется расходящимся. Выяснять сходимость ряда можно с помощью признаков сходимости. Рассмотрим сходящийся ряд Определение Разность между суммой ряда и его n-ой частичной суммой называется n-ым остатком ряда. Остаток ряда в свою очередь есть сумма бесконечного ряда. Обозначение Исходный ряд по определению сходится, то есть следовательно, будет как угодно мало, если n взять достаточно большим. Таким образом, можно приближенно подсчитать сумму сходящегося ряда, взяв достаточно большое число первых его элементов. Однако большую трудность представляет выяснение величины возникающей ошибки. Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд, образованный из произведений всех элементов данного ряда на одно и то же число k: также сходится и имеет сумму kS. 2. Если сходятся ряды: То ряд образованный сложением соответствующих элементов данных рядов то же сходится и его сумма равна S’+S”

Предположим, что функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема окрестности некоторой точки . Допустим, что ее можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в каком-то интервале, содержащем точку . , где - пока неопределенные коэффициенты. Покажем, как пользуясь свойствами степенных рядов можно найти эти коэффициенты по известным значениям функции f(x) и ее производных в точке . Положим в (*) . Получаем . Продифференцируем степенной ряд и снова положим . Получим . Последующее дифференцирование дает При ; , то есть После n-кратного дифференцирования получает Все остальные элементы содержат множитель . При получим , то есть Таким образом, находятся последовательно все коэффициенты разложения (*). Подставляя найденные выражения в равенство (*) получим ряд . Такой ряд называется рядом Тейлора функции f(x). Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора. Пусть f(x) – функция, относительно которой хотим выяснить, допускает она разложение в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки или нет. Запишем ее в следующем виде: , где - остаточный член ряда Тейлора. Рассмотрим теорему относительно структуры , которая в дальнейшем позволит устанавливать, стремится ли к нулю при неограниченном возрастании n или нет, то есть можно ли представить функцию в виде ряда Тейлора или нет.

Пусть f(x,y) – функция, ограниченная в некоторой замкнутой ограниченной области D. - частичная область области D. - площадь частичной области значение функции в точке Составим сумму (*) Сумма (*) называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D, соответствующей данному разбиению области D на n – частичных областей. Определение Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к 0 наибольшего диаметра частичных областей Запись «Двойной интеграл от функции f(x,y) по области D» - выражение; f(x,y) – подынтегральная функция; - элемент площади; D – область интегрирования. Свойства двойных интегралов 1. Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: 2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за символ двойного интеграла: 3. Если область D разбита на две области без общих внутренних точек, то: 4. Если во всех точках области D функция , то: