Презентации по Математике

. Перейдя в этом неравенстве к пределу при и заметив, что в силу непрерывности функции cosx при х=0 имеет место равенство получим , что равносильно . Второй замечательный предел Рассмотрим выражение , где n – натуральное число. Задаем для n неограниченно возрастающие значения и вычисляем . Получим следующий результат Как видно из таблицы при увеличении n выражение изменяется все медленнее и стремится к некоторому пределу, приближенно равному 2,718. Теорема Последовательность стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3. (Доказательство на основании разложения по биному Ньютона). Этот предел называется числом e. Итак , е=2,7182818284… Рассмотрим функцию , где . Можно доказать, что Другое выражение для числа е. Полагая , будем иметь При вычислении пределом полезно применять следующие формулы: ; ; . Данные формулы легко получаются из двух основных формул. Примеры с решениями 1.Найти Решение. Используя первый замечательный предел, имеем = = .

Для нахождения второй производной дифференцируем по х равенство (2) имя в виду, что t есть функция от х. или (3) Формула Лейбница На производные высших порядков распространяются общие правила дифференцирования. Если u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции, то Формула Лейбница, дающая возможность вычислить производную n – го порядка от произведения двух функций, то есть следующая -формула Лейбница. Примеры с решениями 1.Найти для функции Решение. Имеем: 2.Найти для функции y=lnx Решение. Имеем: 3.Найти для функции

Основные формулы дифференцирования Предполагается, что все рассматриваемые функции определены и дифференцируемы, причем все используемые значения принадлежат интервалу дифференцирования. 1. Производная постоянной величины равна 0. 2.Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций. Пусть y=u+v-w, где u,v,w – дифференцируемые функции от х. Тогда (u+v-w)’=u’+v’-w’ 3.Производная произведения двух дифференцируемых функций Вычисляется по формуле Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cu)’=cu’ Следствие 2 Если u,v,w – дифференцируемые функции, то (uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’ 4.Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле где Следствиу 1 Если знаменатель c=const, то или Следствие 2 Если числитель с=const, то при с=1 Таблица формул дифференцирования

Производная функции заданной неявно Рассмотрим способы нахождения производных функций заданных неявно. Пример. Найти производную функции y(y>0), определенную уравнением (уравнение эллипса) Разрешая это уравнение относительно y и, выбирая знак плюс в силу начального условия получаем функцию в явном виде Однако в некоторых случаях уравнение элементарными средствами нельзя разрешить относительно y и приходится рассматривать y как неявную функцию от x. Существует другой способ нахождения производной. Предполагая, что в уравнение подставлено вместо y явное выражение получим тождество: причем y функция от x. Очевидно, если две функции тождественно равны друг другу, то равны и их производные. Поэтому, взяв производные от левой и правой частей тождества и применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем Примеры с решениями 1. Найти производные сложных функций Решение. Обозначим По правилу дифференцирования сложной функции имеем Решение Решение Решение Решение

В этом случае, используя производные можно сформулировать простое правило для нахождения предела функции f(x) при то есть дать способ раскрытия неопределенностей вида (1). Это правило Лопиталя. Теорема Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует. Указанные виды неопределенностей или не являются единственными. Возможны неопределенности то есть причём Или неопределенность то есть причём Возможны и другие неопределенности. Для раскрытия этих неопределенностей их стараются с помощью тождественных преобразований свести к неопределенностям вида или и затем применить правило Лопиталя. Примеры с решениями 1. Выполняется ли теорема Ролля для функции если a=1, b=5? При каком значении с? Решение. Так как функция f(x) непрерывна и дифференцируема при всех значения х и ее значения на концах отрезка [1;5] равны: f(1)=f(5)=95, то теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значение с определяется из уравнения f’(x)=2x-6=0, то есть с=3 2. Показать, что производная многочлена имеет действительный корень в интервале (-1;1) Решение. Найдем корни данного многочлена: то есть Так как f(-1)=f(1)=0, то по теореме Ролля f’(x) имеет корень в интервале (-1;1). Найдем корни производной: Таким образом, между корнями функции содержится корень производной, равный -1/3. 3.На дуге AB кривой найти точку М, в которой касательная параллельна хорде AB, если A(1;1) и B(3;-3) Решение. Функция непрерывна и дифференцируема при этих значениях х. По теореме Лагранжа между двумя значениями a=1 и b=3 существует значение x=c, удовлетворяющее равенству f(b)-f(a)=f’(c)(x-a), где f’(x)=2-2x. Подставив соответствующие значения, получим f(3)-f(1)=f’(c)(3-1), -4=4(1-с). Отсюда с=2, f(2)=0. Таким образом, точка М имеет координаты (2;0). 4. На дуге АВ кривой, заданной параметрическими уравнениями

Экстремум функции одной переменной Определение Функция f(x) имеет максимум при значении аргумента х, если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство Аналогично Функция f(x) имеет минимум при значении аргумента х, если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство 1.Необходимое условие экстремума функции Теорема В точке экстремума функции (двустороннего) дифференцируемой функции ее производная равна нулю. 2.Достаточное условие экстремума Теорема 1 Если производная функции f(x) равна нулю при и меняет знак при переходе через то - точка экстремума, причем 1) - точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; - точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс Направление выпуклости графика функции Теорема Если вторая производная функции положительна в некотором интервале, то ее график является выпуклым вниз, если вторая производная функции отрицательна, то ее график является выпуклым вверх в соответствующем интервале. Точки перегиба графика функции Точкой перегиба графика функции называется такая точка, при переходе через которую выпуклость меняется на вогнутость. Теорема Если при вторая производная функции f(x) равна 0 и меняет знак при переходе через эту точку, то данная точка есть точка перегиба графика функции. Асимптоты графика функции Прямую, определяемую уравнением х=а, называют вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а является бесконечным. или Прямую, определяемую уравнением y=kx+b (1) называют невертикальной (наклонной) асимптотой графика функции y=f(x), если эта функция представима в виде (2) где (3) Если график функции y=f(x) имеет невертикальную асимптоту (1), тогда существуют два предела (4) Исследование функций и построение их графиков Под исследованием функций понимают изучение их изменения в зависимости от изменения аргумента.

Что такое медиана треугольника? Медиана треугольника- это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади  (равновеликих треугольника). Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE, заметим, что       Поскольку отрезок BD является медианой, то что и требовалось доказать.  

Цели урока: ввести понятие корня n-ой степени из действительного числа; формировать умение вычислять корень n-ой степени. 1. Вычислите. а) б) в) г) д) е)

Цели урока:  рассмотреть свойства и графики функции  Понятие

Некоторые значения тригонометрических функций Вычислите Некоторые значения тригонометрических функций

№ 76 Волк бросился за зайцем, когда тот был на расстоянии 10 м от него. Скорость зайца – х м/мин, скорость волка – у м/мин, причём волк бежит быстрее зайца. Запи-шите на математическом языке: а) скорость сближения волка и зайца; б) время, которое потребуется волку, чтобы догнать зайца. В З у м/мин х м/мин у – х (м/мин) 10 м 10 : (у – х) (мин) № 84 Впервые человек ступил на поверхность Луны 21 июля 1969 года. Это был американский астронавт Нил Армстронг. Сколько лет, месяцев и дней прошло с того момента до сегодняшнего дня? 48 лет 1 месяц 28 дней

Теория множеств Множества Операции над множествами Упорядоченные множества Соответствия Отображения и функции Отношения Множества. Основные понятия Множество - совокупность определенных, вполне различаемых объектов, рассматриваемых как целое. Элемент множества - отдельный объект множества. Пустое множество ∅ - множество не содержащее элементов. Универсальное множество (универсум) U - множество содержащее все возможные элементы в рамках заданного рассмотрения Мощность множества |M| - количество элементов множества.

Логика высказываний Высказывания Истинность высказывания Операции над высказываниями Дизъюнкция Конъюнкция Импликация Эквиваленция Штрих Шеффера Штрих Лукасевича КОНЪЮНКЦИЯ: бинарное Обозначается: ^ (логическое умножение, операция «и»)

Логика Логика – это наука о формах и законах человеческой мысли, о законах доказательных рассуждений, изучающая методы доказательств и опровержений, т.е. методы установления истинности или ложности одних высказываний (утверждений) на основе истинности или ложности других высказываний. Алгебра логики Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Историческая записка Леонард Эйлер (1707-1783)- швейцарец по происхождению. Приехал в Санкт-Петербург в 1727 году. Не было такой области математики XVIII века, в которой Эйлер не достиг бы заметных результатов. Например, решая головоломки и развлекательные задачи, Эйлер заложил основы теории графов, ныне широко используемой во многих приложениях математики. Напряженная работа повлияла на зрение ученого, в 1766 году он ослеп, но и после этого продолжал работу, диктуя ученикам свои статьи. Эйлер умер в 76 лет и был похоронен на Смоленском кладбище Санкт-Петербурга. В 1957 году его прах был перенесен в Александро-Невскую лавру. Приложения теории графов - Задача о кратчайшей цепи составление расписания движения транспортных средств, размещение пунктов скорой помощи, размещение телефонных станций. - Задача о максимальном потоке анализ пропускной способности коммуникационной сети организация движения в динамической сети оптимальный подбор интенсивностей выполнения работ задача о распределении работ - Задача об упаковках и покрытиях оптимизация структуры ПЗУ размещение диспетчерских пунктов городской транспортной сети - Раскраска в графах распределение памяти в ЭВМ проектирование сетей телевизионного вещания - Связность графов и сетей проектирование кратчайшей коммуникационной сети синтез структурно-надежной сети циркуляционной связи анализ надежности стохастических сетей связи - Изоморфизм графов и сетей структурный синтез линейных избирательных цепей автоматизация контроля при проектировании БИС - Изоморфное вхождение и пересечение графов локализация неисправности с помощью алгоритмов поиска МИПГ покрытие схемы заданным набором типовых подсхем - Автоморфизм графов конструктивное перечисление структурных изомеров для производных органических соединений синтез тестов цифровых устройств

Формула включений и исключений - конечные множества, тогда Пусть Доказательство: Пусть элемент принадлежит s множествам Тогда он вносит в левую часть единицу, а в правую – следующее количество единиц Проверим справедливость равенства Это равенство верно по следствию 2 из бинома Ньютона. Формула включений и исключений Другая формулировка Существует N объектов, каждый из которых обладает или не обладает свойствами Пусть - количество объектов , обладающих свойством , - количество объектов, не обладающих свойством Тогда

Сочетания Определение 1 k-сочетанием множества А называется неупорядоченный набор попарно различных элементов множества А длины k. Другими словами k-сочетание – это k-элементное подмножество множества А Пример: . 2- сочетания: Число k- сочетаний n-элементного множества обозначается и вычисляется по формуле Свойства сочетаний 1) Доказательство: 2) Доказательство:

Комбинаторика Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц ( 21июня1646-14 ноября 1716) — немецкий философ, математик, логик, физик, юрист, языковед, историк, дипломат  Блез Паска́ль (19 июня 1623 — 19 августа 1662) — французский математик, механик, физик, литератор и философ Задачи 1) Сколькими способами 6 разных папок с документами можно расставить на полке? 2) При расследовании хищения установлено, что у преступника шестизначный номер телефона, в котором все цифры различны и нет нулей. Следователь, полагая, что перебор этих номеров достаточно будет одного - двух часов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он? 3) На иномарке, скрывшейся с места ДТП, был трехзначный номер, в котором первая цифра 2. Сколько номеров необходимо проверить по картотеке ГИБДД, чтобы найти нарушителя?

Свойства отношений Определение 1 Пусть . P называют а) рефлексивным, если , б) антирефлексивным, если , в) симметричным, если , г) антисимметричным, если д) транзитивным, если е) линейным, если Пример А) Рефлексивность - Б) Антирефлексивность - В) Симметричность - Г) антисимметричность - Д) транзитивность - Е) линейность - да нет нет да да нет

Отношения Определение 1 а) Множество называется n-местным отношением между элементами множеств А1,А2,...,Аn; Определение 2 Пусть   – n – местное отношение. а) При n=1 называется одноместным отношением или свойством; б) при n=2 называется двухместным отношением или бинарным отношением или просто отношением; Примеры 1) M={сентябрь, февраль, январь}, 2) 3) B={Толстой, Достоевский, Пушкин} С={Идиот, Аэлита, Овод, Братья Карамазовы} R={(Толстой, Аэлита),(Достоевский, Идиот), (Достоевский, Братья Карамазовы) } 4) X={ , , }, Y={2,3,4,5,6} R={( ,4),( ,6),( ,3)}

1. Вычисление множеств Дано U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11}, A={1;2;3;7;9}, B={3;4;5;6;10;11}, C={2;3;4;7;8}, D={1;7;11}. Вычислить множества 1) 2) 3) 4) 5) 2. Выражение множеств Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}, A={1, 2, 3, 5}, B={2, 4, 6, 8}, C={1, 3, 5, 7}, D={4, 5, 7, 8}. Выразить через известные множества A, B, C, D следующие множества. {1,2,3,4,5,7,8}= {4,7,8}= {2,5,6,7}= {2,5}= {5,7,9}= {4,5}= Невозможно выразить через данные множества, так как элементы 4 и 8 одновременно принадлежат или не принадлежат данным множествам.